LÓGICA PROPOSICIONAL.

1.

 a) Si m y n son proposiciones, se define la operación * así: m * n = m ˄ n[pic 2]

Simplifique:

m ≡ [ ( p ˄ ~q) ˅ ~( p ˅ q ) ] ~( p ˅ q )[pic 3]

n ≡ [ p( q ˅ ~r ) ] ˄ [ p → ( q ˄~r ) ] ˄ [ p ˄ ( q → r ) ] si se sabe que q y r no tienen el mismo valor de verdad.[pic 4]

Solución:

n ≡ [ p( q ˅ ~r ) ] ˄ [ p → ( q ˄~r ) ] ˄ [ p ˄ ( q → r ) ]        “Condicional”[pic 5]

          n ≡ [ p( q ˅ ~r ) ] ˄ [ ~p ˅ ( q ˄~r ) ] ˄ [ p ˄ ( ~q ˅ r ) ]       “Morgan”[pic 6]

          n ≡ [ p( q ˅ ~r ) ] ˄ [ ~p ˅ ( q ˄~r ) ] ˄ [ p ˄ ~( q ˄ ~r ) ][pic 7]

          n ≡ [ p( q ˅ ~r ) ] ˄ [ ~p ˅ ( q ˄~r ) ] ˄ ~[ ~p ˅ ( q ˄ ~r ) ][pic 8]

          n ≡ [ p( q ˅ ~r ) ] ˄ s ˄ ~s[pic 9]

          n ≡ [ p( q ˅ ~r ) ] ˄ F[pic 10]

Luego:

m * n = m ˄ n[pic 11]

= ~m ˄ F

     = F      Rpta.

 b) Si la preposición p ʌ q ʌ r ʌ s es falsa simplifique la proposición.

 {(p → q) ʌ [ q → ( r ʌ s ) ]} → ~ [ ( r ʌ s ) → p ]

Solución:[pic 12]

{( p → q ) ʌ [ q → m ]}   →   ~[ m → p ]

~{( p → q ) ʌ [ q → m ]}    ᴠ   ~[ m → p ]

                  ~{(~p ᴠ q ) ᴧ [ ~q ᴠ m ]}     ᴠ   ~[~m ᴠ p ]

                 {~(~p ᴠ q ) ᴠ ~(~q ᴠ m )}    ᴠ      [ m ᴧ~p ]

                        ( p ᴧ ~q) ᴠ ( q ᴧ ~m)    ᴠ      [ m ᴧ ~p ]

                      ( p ᴧ ~q ) ᴠ {( q ᴧ ~m )   ᴠ      [ m ᴧ ~p ]}

               ( p ᴧ ~q ) ᴠ {[ q ᴠ ( m ᴧ ~p )]     ᴧ      [~m ᴠ ( m ᴧ ~p )]}

[pic 13]

[pic 14]

                             [ q ᴠ p ᴠ ( m ᴧ ~p )]     ᴧ     [~p ᴠ ~q ᴠ ~m ]

                                        [ q ᴠ p ᴠ m ]     ᴧ   ~[ p  ᴧ q ᴧ m ]

                                        [ q ᴠ p ᴠ m ]     ᴧ   ~[ F ]

                                        [ q ᴠ p ᴠ m ]     ᴧ        V

                        q ᴠ p ᴠ m

                                             q ᴠ p ᴠ ( r ᴧ s )       Rpta

2.

 a) ([pic 15]

Demostraremos:

1. [pic 16]
2. [pic 17]

Resolución:

1. [pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

   [pic 35]

1.  [pic 36]

 [pic 37]

 [pic 38]

 [pic 39]

           [pic 40]

                                [pic 41]

 [pic 42]

                               [pic 43]

 [pic 44]

 [pic 45]

        l.q.q.d[pic 46]

 [pic 47]

 [pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

     l.q.q.d[pic 57]

3.

Demostrar que A Δ (B Δ C) = (A Δ B) Δ C

Demostración:

A Δ (B Δ C)

{A ∩ (B Δ C)’} U {A’ ∩ (B Δ C)}

{A ∩ [ (B’ ∩ C) U (B ∩ C’)]’} U {A’ ∩ [(B’∩C) U (B ∩ C’)]}

{A ∩ [(B’ ∩ C)’∩ (B ∩ C’)’]} U {[(A’ ∩ (B’ ∩ C)] U (A’ ∩ B ∩ C’)}

{A ∩ [(B U C’) ∩ (B’ U C)]} U {(A’ ∩ B’ ∩ C)] U (A’ ∩ B ∩ C’)}

{A ∩ (B U C’) ∩ (B’ U C)} U {(A’ ∩ B’ ∩ C) U (A’ ∩ B ∩ C’)}

{A ∩ (B’ U C) ∩ (B U C’)} U {(A’∩ B’∩ C) U (A’ ∩ B ∩ C’)}

{[(A ∩ B’) U (A ∩ C)] ∩ (B U C’)} U {(A’∩ B’∩ C) U (A’ ∩ B ∩ C’)}

{[(A ∩ B’) ∩ (B U C’)] U [(A ∩ C) ∩ (B U C’)]} U {(A’∩ B’∩C) U (A’ ∩ B ∩ C’)}

{[(A ∩ B’ ∩ B) U (A ∩ B’ ∩ C’) U (A ∩ C ∩ B) U (A ∩ C ∩ C’)]} U {(A’∩ B’∩ C) U (A’∩ B ∩ C’)}

{Ø U (A ∩ B’ ∩ C’) U (A ∩ C ∩ B) U Ø} U {(A’ ∩ B’ ∩ C) U (A’ ∩ B ∩ C’)}

(A ∩ B’ ∩ C’) U (A ∩ C ∩ B) U (A’∩ B’∩ C) U (A’ ∩ B ∩ C’)

(A ∩ B’ ∩ C’) U (A’ ∩ B ∩ C’) U (A ∩ B ∩ C) U (A’∩ B’∩ C)

{(A ∩ B’) U (A’ ∩ B)] ∩ C’} U {[(A ∩ B) U (A’ ∩ B’)] ∩ C}

{(A Δ B) ∩ C’} U {[(A ∩ (B U A’)] U [(A’ U B) ∩ B’)] ∩ C}

{(A Δ B) ∩ C’} U {[(A’ U B) ∩ (A U B’)] ∩ C}

{(A Δ B) ∩ C’} U {[(A ∩ B’)’ ∩ (A’ ∩ B)’] ∩ C}

{(A Δ B) ∩ C’} U {[(A ∩ B’) U (A’ ∩ B)]’ ∩ C}

{(A Δ B) ∩ C’} U {(A Δ B)’ ∩ C}

{(A Δ B) Δ C                 Lqqd.

1.- Sea f definida mediante

[pic 58]

Determine si existen las asíntotas a la gráfica de f

Solución

• Cálculo de las asíntotas verticales[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

• [pic 62]

• Cálculo de las asíntotas horizontales[pic 63]

[pic 64]

-4[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

                              [pic 68]

[pic 69]

 [pic 70]

                                       [pic 71]

                            [pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

• [pic 75]

• [pic 77][pic 76]

[pic 78]

                     Determinación de m y b:

[pic 79]

[pic 80]

                                               [pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

• Asíntota oblicua: y=14x-4

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

2)

a) Use la definición de límite para demostrar que: [pic 97][pic 96]

[pic 98]

Solución:

, L= [pic 99][pic 100]

 [pic 101]

 [pic 102]

0< <[pic 103][pic 104]

0<  [pic 105][pic 106]

-1< x-1 <1

0 < x < 2

0 < x < 2

0< 3x < 6

4 < 3x+4 < 10

[pic 107]

[pic 108]

[pic 109]

                                          ….. .……………… ………(1)[pic 110]

[pic 111]

                                             ….. .……………… ………(2)[pic 112]

• De 1 y 2:

[pic 113]

[pic 114]

[pic 115]

[pic 116]

[pic 117]

                                       …………………………….. (3)[pic 118]

• De (2) y (3):

[pic 119]

• Luego:

[pic 120]

b) Analice la veracidad de los enunciados

I)     [pic 121]

          [pic 122]

           =     =  [pic 123][pic 124][pic 125]

• Pero:

[pic 126]

[pic 127]

[pic 128]

[pic 130][pic 129]

También por teoría:

[pic 131]

Si [pic 132]

[pic 134][pic 133]

[pic 135]

• Luego:

                                  LA PROPOSICIÓN ES VERDADERA [pic 136]

...