Series de Laurent

SERIES DE LAURENT.

immediate November 2020

Por una serie de potencias negativas, entenderemos una serie de funciones de la forma:

∞[pic 1]

f (z) =        −

(z − z0)n

n=0

Teorema.    Dada  una  serie  de  potencias  negativas  f (z)  =  Σ∞[pic 2]

[pic 3]        [pic 4]

    a−n     , sea r =

n=0 (z−z0)n

limn→∞        |a−n| y sea γr  = {|z − z0| = r}.  Existir´an entonces tres posibilidades:

1. Si r=0, la serie es absolutamente convergente en C − {z0}
2. Si 0 < r < ∞, la serie es absolutamente convergente en E(γr) y divergente en I(γr)
3. Si r = ∞, la serie es divergente en C

Dem.   Se  sigue  del  Teorema  de  Cauchy-Hadamard,  bajo  la  substituci´on,  Z  =     1 

que la serie se convierte en

z−z0

con radio de convergencia

∞

a−nZ[pic 5]

n=0

lim

1

√n   |a[pic 6]

1

=        = R,[pic 7]

|        r

n→∞        −n

Si

1        1

|Z| = |z − z | < r ⇐⇒ r < |z − z0|[pic 8][pic 9][pic 10]

la serie converge absolutamente y divergente si |z − z0| < r. Los otros dos casos, se

siguen inmediatamente.

Notemos que todo compacto de E(γr), va en un compacto de I(γr), bajo el mapeo[pic 11][pic 12]

z = z0

+ r2 , de donde la serie de potencias negativas resulta uniformemente convergente

en compactos de E(γr), a una funci´on anal´ıtica.

Adem´as  f (z)  resulta  anal´ıtica  en  ∞ pues  la  funci´on  f ∗(δ) = f ( 1 ),  resulta  anal´ıtica[pic 13]

en δ = 0 bajo la transformaci´on z =  1 .[pic 14]

Def. Por una serie de Laurent entenderemos una serie de funciones de la forma

Σ a (z − z )n := Σ a (z − z )n + Σ  a−n        [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Diremos que la serie converge en en z, si cada una de las dos series convergen en z.

Diremos que la serie converge en B ⊂ C, si converge en todos los puntos de B, lo cual

implica la existencia de una funci´on f (z) = Σ∞     an(z − z0)n.  As´ı diremos por el criterio

de  Cauchy,  que  la  serie  de  Laurent  converge  a−f∞(z)  en  B  si  dado  ϵ > 0,  existe  un  entero

N (ϵ, z), tal que si µ, γ > N ,

.f (z) −

nΣ=−µ

an(z − z0)n. < ϵ.

Como  la  convergencia  de  la  serie  de  Laurent  depende  de  una  composici´on  de  una serie de potencias positivas con una serie de potencias negativas, observemos que si R es el radio de convergencia de la serie de potencias positivas y r el radio de convergencia de la serie de potencias negativas; si r > R, el conjunto de convergencia de la serie de Laurent es vac´ıo. De ah´ı para que haya un dominio de convergencia y poder hablar de anal´ıticidad se requiere que r < R:[pic 26][pic 27]

Si r = R podemos tener puntos de convergencia pero no de anal´ıticidad. Luego la convergencia es en anillos:

{r < |z − z0| < R}

Necesitamos ahora explorar la posibilidad de encontrar f´ormulas para los coeficientes[pic 28]

de Laurent. Para las series de potencias (positivas), sabemos que an

f (n)(z0

[pic 29]

n!

Es  claro  que  esta  f´ormula  no  admite  extensi´on  para  el  caso  de  ”a−n”,  pues  no  hay derivadas negativas.

Sin  embargo  s´ı  podemos  extender  las  f´ormulas  considerando  las  f´ormulas  integrales de Cauchy para las derivadas.

Teorema. Los coeficientes de la serie de Laurent, convergente en el anillo {r <

|z − z0| < R} a f(z), est´an dados por la f´ormula:

a =  1  

n        2πi

         f (z)        

(z − z )n+1 dz, n ∈ Z[pic 30][pic 31][pic 32]

con γS = {|z − z0| = S}, r < S < R

Dem.        Como γS es un compacto, ah´ı la serie converge uniformemente, luego lo mismo  si  la  modificamos  por  una  funci´on  acotada,  es  decir,  si  multiplicamos  f (z)  =[pic 33]

∞    an(z − z0)n[pic 34][pic 35][pic 36]

...