MATEMÁTICAS IV Circunferencia unitaria

MATEMÁTICAS IV

Circunferencia unitaria

OBJETIVO

Calcular la distancia entre dos puntos, circunferencia unitaria y funciones

circulares.

El hombre al tener la necesidad de medir utiliza las herramientas de las

matemáticas y una de ellas es la trigonometría que significa “medición de

triángulo”se encuentran implícitas las funciones trigonomètricas y circulares. La

aplicación de las circulares es la distancia entre dos puntos, las coordenadas

rectangulares en el plano cartesiano forman la ecuación de la circunferencia

unitaria con centro en el origen. Las coordenadas A (x1.y1) y B (x2.y2)

B (x2,y2)

.A (x1,y1)

Para encontrar la medida de la distancia del segmento AB se utiliza el Teorema

de Pitágoras.

AB = √ ( x2 -- x1 ) 2 + ( y2 -- y1 )2

Ejemplo:

La distancia entre los puntos A ( 3 , 8 ) y B ( 5 , 9 ).

AB = √ ( 5 -- 3 ) 2 + ( 9 -- 8 )2

= 2 2

2 + 1

= √ 3

= 1.7

1.1.2 CIRCUNFERENCIA UNITARIA

Es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia, con punto de

origen 0 ( 0, 0 ) y de radio uno 2 2

x + y = 1

La ecuación de la circunferencia unitaria con centro en el origen es :

2 2

C = (x , y) x + y = 1

1.2 FUNCIONES CIRCULARES

La longitud de una circunferencia esta dada por la expresión C = 2πr. Donde

“r” es la medida del radio correspondiente; ésta expresión nos permite determinar

la longitud de la circunferencia unitaria al sustituir “r” por 1.

C = 2π . 1 unidades

C = 2π unidades

La longitud del arco es: ą > 2π (ą > 2π ò ạ < -2π )

Cada arco tiene un punto terminal y cada arco se representa por un único número

real, genera una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales

(ą € R ) y su contradominio el conjunto de los puntos en la circunferencia

unitaria [P( a ) ] Los puntos se representan en dos formas (x,y) posición

respecto a los ejes coordenados y P(ą) ubica cada punto indicado en su

distancia a ( 1,0 ) y se resume con la igualdad P(ą) = ( x ,y )

y

P( ą )

ą

x

1.2.1 LOCALIZAR PUNTOS EN C.

Π Carece de representación por ser un número irracional sólo se aproxima,

π = 3.1416 O 22/7 cual sea el número racional utilizado. La longitud de la

circunferencia unitaria es C = 2π , como se muestra en figura sobre la los ejes

coordenados.

P ( π / 2 ) = 1.5708

P ( 2 )

P (o )

P ( π) P (2 π)

1.3 DEFINICION DE SENO Y COSENO

La función coseno tiene como dominio al conjunto de los números reales y como

contradominio al conjunto de las “x” de los puntos de la circunferencia unitaria,

siendo la longitud del radio igual a 1 (r = 1), los puntos más alejados del eje “y•”

son : A ( I,0 ) y E ( - 1 , 0 ) , están a una unidad del mismo y el contradominio de

esta función es:

(xa € R | -1 ≤ x ≤ 1 ) Como se muestra en la figura.

|| | < 1 |

E ( - 1, 0 ) A ( 1 , 0 )

| < 1

El coseno en la pràctica con signo positivo.

X =cos α , α € R , - 1 ≤ x ≤ 1

Función coseno

El dominio es también el conjunto de los números reales ( R ) y su

contradominio esta constituido por las “y”.

Si P ( α) = ( x, y ) es un punto de la circunferencia unitaria

y = sen α , α € R

Es la ecuación que define a la función seno.

B (0,1 )

| y | < 1

|y | < 1

La ecuación que define a función tangente es:

Sen α

Tg = ------------ , cos α ≠ 0

Cos α

Las tres funciones que se mencionan a continuación están dadas en términos de

las coordenadas del punto terminal P (α )

x

Cotangente, cot α = ----- y ≠ 0

y

1

secante , sec α = -------- x ≠ 0

x

1

cosecante, csc α = ------- y ≠ 0

y

Determinación de las funciones reciprocas

Cos α 1

Si sen α ≠ 0; cot α = --------- ò cot α = ------- ò tg α cot α =1

Sen α tg α

1

Si cos α ≠ 0; sec α = ---------- ò cos α sec α = 1

Cos α

1

Si sen α ≠ 0; csc α = --------- ò sen α csc α = 1

Sen α

1.3.1 SIGNO DE LAS FUNCIONES CIRCULARES EN CADA UNO DE LOS

CUATRO CUADRANTES.

Primero y tercer cuadrante son positivos, segundo y cuarto son negativos.

REACTIVOS DE AUTOEVALUACION

a) Encontrar la distancia entre los puntos que se mencionan.

1) (4,5) y (6,10 )

2) (8,4) y (2,-8)

3) (6,-5) y (4,9)

4) (-4,-7) y (-6 , 7 )

b) Demostrar que los puntos A (3 , 8), (5 , 9) y (4 , 6) son los vértices de un

triángulo isósceles.

c) Localizar aproximadamente los siguientes puntos en la circunferencia unitaria.

P ( 9π/ 6 )

P ( 2π )

UNIDAD XIII

FUNCIONES CIRCULARES

Modulo 2

Valores de las funciones circulares

OBJETIVO

Calcular las funciones circulares de los arcos, determinar e4l valor y las

coordenadas de los puntos terminales.

2.1 VALORES DE LAS FUNCIONES CIRCULARES

Las coordenadas x y y son los valores funcionales del número real β; donde

cos β = x, sen β = y son puntos terminales, los arcos cuadrantes se

encuentran en el punto terminal de la frontera de dos cuadrantes. Como se

muestra en la figura.

y

P ( β ) = ( 0 , 1 )

β

P ( β ) = ( x,y )

A ( 1 , 0 )

x

Los valores de las funciones circulares se presentan en la siguiente tabla

β P ( x , y ) Cos β Sen β

0

π / 2

π

3 π/ 2

2 π

( 1 , 0 )

( 0 , 1 )

( -1 , 0 )

( 0 , - 1 )

( 1, 0 )

1

0

-1

0

1

0

1

0

-1

0

Identidades trigonomètricas de tg β , sec β y csc β

Sen β 1 1

Tg β = ---------- , sec β = -------- y csc β = -------

Cos β cos β sen β

Aplicaciones de las identidades trigonomètricas

Ejemplo:

Encontrar el valor exacto de csc 3 π/ 2

Solución : Se establecen las coordenadas del punto terminal de la circunferencia

unitaria que corresponde a la longitud del arco π

y

x

P ﴾ 3π/2 ﴿ = ( 0 . –1 )

Aplicación de la identidad trigonomètrica respectiva.

1 1

Csc 3 π/ 2 = --------------- = ------ = -1 , el valor encontrado de csc 3 π/ 2 = -1

Sen 3 π/ 2 -1

2.2 VALORES DE LAS FUNCIONES CIRCULARES PARA ARCOS π/ 4 , π/ 6 ,

π / 3 Y SUS MÚLTIPLOS

Calculo de coordenadas de puntos terminales de arcos cuyas longitudes son

algunos múltiplos o submúltiplos de π

Calculo de las coordenadas del punto terminal correspondiente al arco de longitud

π/ 4

Solución: Representación del punto , trazo del segmento de recta perpendicular a

ambos ejes y pase por el punto P ( π/ 4 ) , resulta un cuadrado y se justifica

por geometría plana, al trazar la diagonal se forma un triángulo rectángulo , se

utiliza el teorema de Pitágoras para calcular el resultado.

P ( π / 4 ﴿

1 z

z

El punto esta localizado exactamente ala mitad de π / 2 y queda en el punto

medio del arco de la circunferencia del primer cuadrante .

El triángulo rectángulo tiene dos catetos iguales y su longitud esta designada por

“z” al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene el resultado.

2 2 2 2

Z + z = 1 ; luego 2 z = 1 por tanto

1 √ 2

z = √ 1 / 2 = ------- = ------- este resultado es la longitud de cada cateto.

√ 2 2 √ 2 √2

Se determinan las coordenadas de cada cateto del punto P ( π/ 4 ﴿ = ------ , -----

2 2

En otros ejercicios el resultado es el mismo sólo cambia el signo de acuerdo al

cuadrante donde este ubicado el punto terminal.

Calcular las coordenadas del punto terminal correspondiente al arco de longitud

π/ 3.l

Solución: En una circunferencia unitaria cuyo centro coincida con el origen de

un sistema de coordenadas rectangulares, se trazan las cuerdas de un hexágono

regular inscrito de longitud AB , BC , CD, de longitud unitaria y las cuerdas

contiguas DE , EF y FA . Cada lado del hexágono es igual a la longitud del radio,

se tienen seis arcos y cuerdas de igual medida. En consecuencia la longitud del

arco AB es la sexta parte de la distancia que se mide alrededor de la

circunferencia. Longitud del arco AB = 1 / 6 ( 2π ) = π / 3, Como se muestra en la

figura.

y

C B

x

D A

E F

Se toma la cuerda AB y se traza el radio OB , se obtiene el triángulo equilátero

AOB por construcción, el radio OA = OB = AB = 1 al trazar la perpendicular

desde B hasta el eje x representado el punto de intersección por la letra H ,

OH = 1 / 2 , al aplicar el Teorema de Pitágoras se calcula la longitud entre los

puntos B y H .

y

B

O H A x

2 2 2

OB = OH + BH Al sustituir valores

...