Matemáticas IV

Matemáticas IV

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

1.1. Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad).

1.2. Soluciones de las ecuaciones diferenciales.

1.3. Problema del valor inicial.

1.4. Teorema de existencia y unicidad.

1.5. Variables separables y reducibles.

1.6. Exactas y no exactas, factor integrante.

1.7. Ecuaciones lineales.

1.8. Ecuación de Bernoulli.

1.9. Sustituciones diversas.

1.10. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

2. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

2.1. Definición de ecuación diferencial de orden n.

2.2. Problema del valor inicial.

2.3. Teorema de existencia y unicidad de solución única.

2.4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

2.5. Dependencia e independencia lineal, wronskiano.

2.6. Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

2.7. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

2.8. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

3. Transformadas de laplace.

3.1. Definición de la trasformada de Laplace.

3.2. Condiciones suficientes de existencia para la trasformada de Laplace.

3.3. Trasformada de Laplace de funciones básicas.

3.4. Trasformada de Laplace de funciones definidas por tramos.

3.5. Función escalón unitario.

3.6. Propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación).

3.7. Transformada de funciones multiplicadas por tn, y divididas entre t.

3.8. Trasformada de derivadas (teorema).

3.9. Trasformada de integrales (teorema).

3.10. Teorema de la convolución.

3.11. Trasformada de Laplace de una función periódica.

3.12. Función Delta Dirac.

3.13. Trasformada de Laplace de la función Delta Dirac.

3.14. Trasformada inversa.

3.15. Algunas trasformadas inversas.

3.16. Propiedades de la trasformada inversa (linealidad, traslación).

4. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

4.1. Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace.

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

1.1 Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad).

Definición:

una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice que es ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. En este capítulo se desarrollan algunos métodos para resolver los tipos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias. La intención de este análisis no es una disertación sobre el tema sino servir de introducción a esta área tan vasta y a la vez tan importante de las matemáticas.

ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:

ORDEN 1: Y´=2x

ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0

ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex

ORDEN 4: (d 4y /dx4) - 1 = x³ dy/ dx

Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la ecuación diferencial

Y´ = 6x 2 - 5

Tiene solución

F (x) = 2x3 - 5x + C

Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x 2 - 5 = 6x 2 - 5. Se dice que f(x) = 2x 3 - 5x + C es la solución general de y´= 6x 2 - 5 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por ejemplo, tomando C = 0 se obtiene la solución particular y = 2x3 – 5x. A veces se dan condiciones iniciales para determinar una solución particular, como se ilustra en el siguiente ejemplo

EJEMPLO 1

a. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial y´= 2x

b. Obtener una solución particular de y´ = 2x que satisfaga la siguiente condición: y = 3 cuando x = 0

SOLUCIÓN

a. Si f es una solución de y´ = 2x, entonces f´´(x) = 2x. La integral indefinida lleva a la solución general

Y = f (x) = x² + C.

Podemos encontrar soluciones particulares asignando valores específicos a C. Así obtenemos la familia de parábolas y = x² + C

b. Si y = 3 cuando x = 0, entonces sustituyendo en y = x² + C obtenemos 3 = 0 + C, o bien C = 3. Por lo tanto, la solución particular es y = x² + 3

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