MEZCLAS QUIMICAS

MEZCLAS QUIMICAS

1. En un tanque que contiene 1000l de agua, inicialmente se disuelven 5 kg de sal. Luego se bombea salmuera al tanque a razón de 20 l/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera del tanque a la misma razón. Considerando que la concentración de la solución que entra es de 0:01 kg/l, determinar:

1. La cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t 0.

2. La cantidad de sal en el tanque después de 30 min.

3. La cantidad de sal en el tanque después de mucho tiempo.

4. El tiempo que debe transcurrir para que haya 8 kg de sal en el tanque

Sea Q(t) la cantidad (en kg) de sal en el tanque después de t min. Como inicialmente se tienen 5 kg de sal, entonces Q(0)=5.

La rapidez de cambio de la cantidad Q(t) de sal en el tanque en el instante t es:

d/dt Q(t) = (rapidez con la que entra la sal) - (rapidez con la que sale la sal)

Ya que la solución entra con una rapidez R_e=20 l/mincon una concentración C_e=0.01 kg/l , entonces la rapidez con que entra la sal al tanque es:

R_e C_e=(20l/min)(0.01kg/l)=0.2 kg/min

¿Con qué rapidez entra la sal al tanque?

La rapidez con que sale la solución del tanque es R_s=20 l/min. Sin embargo, la concentración de sal a la salida se debe hallar a partir de estas consideraciones:

Ya que entra solución a razón de 20 l/min y sale solución a la misma razón, es claro que el volumen V de solución en el tanque es constante: V = volumen inicial = 1000l

Después de t minutos hay Q(t) / kg de sal disueltos en 1000l de solución, por lo que la concentración de sal en la solución que sale es

C_s=(Q(t))/V=(Q(t))/1000=kg/l

Entonces la rapidez con que sale la sal del tanque es

〖R_s C〗_s=(20l/min)[(Q(t))/1000 kg/l]=(Q(t))/1000=kg/l

Por lo tanto, la rapidez de cambio de la cantidad Q(t) de sal en el tanque, después de t minutos es

d/dt Q(t)〖=R〗_e C_e-R_(s-) C_s=0.2-(Q(t))/50⟹Q^' (t)+(Q(t))/50=0.2

La cantidad de sal en el tanque Q(t) está dada por la solución del PVI:

Q^' (t)+1/50 Q(t)=0.2 con Q(0)=5

Resolvemos la ecuación diferencial:

Q^' (t)+1/50 Q(t)=0.2

La cual es una ED lineal no homogénea y tiene por factor integrante ae^(1/50 t), por lo que

[Q^' (t)+1/50 Q(t)]=0.2e^(t/50)⟹d/dt [e^(t/50) Q(t)]=0.2e^(t/50)+C ⟹

⇒0.2e^(t/50) Q(t)⟹0.2 ∫▒e^(t/50) dt=(0.2)(50)e^(t/50)+C⇒

⇒Q(t)⟹e^(-t/50) (10e^(t/50)+C)⟹Q(t)=10+Ce^(-t/50)

Ahora bien, considerando la condición inicial, Q(0)=5⇒Q(0)=10+〖C_e〗^0=5⇒10+C=5⇒C=-5

Encontramos que

Q(t)=10+5e^(-t/50)

Es la cantidad de sal (en kg) que hay en el tanque después de t minutos.

La cantidad de sal que hay después de 30 min: Q(30)⟹10-e^(-30/50)=10-5e^(-0.6)≈7.25594182⟹Q(30)≈7.256 kg.

La cantidad de sal que hay después de mucho tiempo la podemos denotar y calcular como sigue:

〖〖Q_lim=lim〗┬( t→∞)=lim┬(t→∞)〗⁡(10-〖5e〗^(-t/50) )=lim┬(t→∞) (10-〖5/e〗^(-t/50) )=10〖⟹Q〗_lim=10 kg.

¿Qué tiempo debe transcurrir para que haya 8 kg de sal en el tanque? Q(t)=8⇒10+〖5_e〗^(-t/50)=8⇒e^(-t/50)=(8-10)/(-5)=(-2)/(-5)=0.4 ⇒

⇒-t/50=ln⁡〖(0.4)⇒t=-50 ln⁡(0.4)≈45.81453659 min.〗

Es decir,t ≈45 minutos,49 segundos.

2. Un tanque que tiene capacidad para 2 000l, contiene inicialmente 1 000l de agua con 8 kg de sal disuelta. Se bombea salmuera al tanque a razón de 20 l/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera a razón de 15 l/min. Considerando que la concentración de la solución que entra es de 0.01 kg/ l, determinar:

1. La cantidad de sal que hay en el tanque después de t minutos.

2. La cantidad de sal que hay en el tanque después de 1 h.

3. La concentración de sal en el tanque cuando éste se llena.

Sea Q(t) la cantidad (en kg) de sal en el tanque después de t minutos. Como inicialmente se tienen 8 kg de sal, entonces Q(0)=8. La rapidez de cambio de la cantidad Q(t) de sal en el tanque en el instante t es

d/dt Q(t)=(rapidez con que entra la sal)-(rapidez con que sale la sal)

¿Con qué rapidez entra la sal al tanque?

Ya que la solución entra con una rapidez R_e=20 l/min y con una concentración 〖 C〗_e=0.01 kg/ l entonces la rapidez con que entra la sal al tanque es

〖 R_e C〗_e=(20l⁄min)⁡(0.01kg⁄l)=0.2kg⁄min

La rapidez con que sale la solución del tanque es R_S= 15l/min.

Pero ¿con qué concentración de sal?

Ya que entra solución a razón de 20 l/min y sale solución a razón de 15 l/min, entonces quedan en el tanque 5l de solución en cada minuto que transcurre. Después de t minutos habrán quedado almacenados en el tanque 5t l de solución, los cuales se sumarán a los 1000l de soluciones iniciales. Es decir, después de t minutos habrá en el tanque (1000+5t)l de solución en los que estarán disueltos Q(t) kg de sal, por lo cual la concentración de sal en la solución que sale es

C_s=Q(t)/(1000+5t) kg/ l

Entonces la rapidez con que sale la sal del tanque es

R_(s-) C_s=(15l⁄min)⁡[(Q(t))/(1000+5t) kg/l]=(15Q(t))/(1000+5t) kg/min

Por lo tanto, la rapidez de cambio de la cantidad Q(t) de sal en el tanque, después de t minutos es

d/dt=R_e C_(e-) R_s R_s=0.2-15Q(t)/(1000+5t)

O sea

Q^'(t) +15Q(t)/(1000+5t) Q(t)=0.2

Luego, la cantidad Q(t) está dada por la solución del PVI:

Q^'(t) +3/(200+t) Q(t)=0.2 con Q(0)=8

Resolvemos la ecuación diferencial:

Q^'(t) +3/(200+t) Q(t)=0.2

La cual es una ED lineal no homogénea y tiene por factor integrante lo siguiente:

e^∫▒〖3/(200+t) dt〗=e^(3∫▒dt/(200+t))= e^(3 ln⁡(200+t) )=〖(200+t)〗^3

Por lo que

(200+t)^3 [Q^' (t)+3/(200+t) Q(t)]=〖0.2(200+t)〗^3⟹d/dt [(200+t)^3 Q(t)]=0.2(200+t)^3 ⇒

〖⇒(200+t)〗^3 Q(t)=0.2 ∫▒〖(200+t^3 )dt=0.2 〗 (200+ t)^4/4+C ⇒

Q(t)=(0.05〖(200+t)〗^4+C)/(200+t)^3 =0.05(200+t)+C/〖(200+t)〗^3

Ahora bien, considerando la condición inicial,

Q(0)=8⇒Q(0)=0.05(200)+c/(200)^3 =8⇒10+C/(200)^3 =8 ⇒

⇒C=(8-10) (200)^3⇒C=-2〖(200)〗^3

Por lo que,

Q(t)=0.05(200+t)-(2(200)^3)/(200+t)^3 ⇒Q(t)=0.05(200+t)-2(2/(200+t))^3

Es la cantidad (en kg) de sal que hay en el tanque después de t minutos.

La cantidad de sal que hay en el tanque después de una hora (60 min) es

Q(60)=0.05(200+60)-2(2/(200+60))^3=0.05(260)-2(200/260)^3⇒

Q(60)=13-0.91=12.09⇒Q(60)=12.09kg

¿Cuál es la concentración de sal en el tanque cuando éste se llena?

Primero veamos que el tanque se llena cuando el volumen variable V(t)=1000+5t se iguala con la capacidad del tanque de 2000 l. Esto sucede cuando

V(t)=2000⇒1000+5t=2000⇒5t=1000⇒t=200

Es decir, el tanque se llena cuando han transcurrido t=200 min. La cantidad de sal que hay en el tanque en dicho instante es

Q(200)=0.05(200+2000)-2(200/(200+60))^3=0.05(400)-2(200/260)^3=20-2(1/8)=19.75

⇒ Q(200)=19.75 kg

Por lo tanto, la concentración de sal en el tanque en este instante es

Q(200)=(Q(200))/2000 kg⁄l= 19.75/2000 kg⁄l ⟹ C(200)=0.009875 kg⁄l ⟹C(2000)≈0.01 kg⁄l

3. En un tanque que contiene 500 gal de agua, inicialmente se disuelven 10 lb de sal. Luego se bombea salmuera al tanque a razón de 4 gal/min y la solución uniformemente mezclada se bombea hacia afuera del tanque a razón de 5 gal/min. Considerando que la solución que entra tiene sal con una concentración de 0,1 lb/gal, determinar:

1. La cantidad de sal que hay en el tanque después de t minutos.

2. La cantidad de sal en el tanque después de media hora.

3. La concentración de sal en el tanque cuando quedan 100 .gal de solución

Sea Q(t) la cantidad (en lb) de sal en el tanque después de t minutos.Como inicialmente se tienen 10 lb de sal, entonces Q(0)=10. La rapidez de cambio de la cantidad Q(t) de sal en el tanque en el instante t es

d/dt Q(t) = (rapidez con la que entra la sal) - (rapidez con la que sale la sal)

¿Con qué rapidez entra la sal al tanque?

Ya que la solución entra con una rapidez R_e=4 gal/min y con una concentración

C_e=0.1lb/gal entonces la rapidez con que entra la sal al tanque es

R_e C_e=(20l/min)(0.01kg/gal)=0.4 lb/min

¿Con qué rapidez sale la sal del tanque?

La rapidez con que la solución sale del tanque es R_s =5 gal/min. Pero ¿con qué concentración de sal? Ya que la salmuera entra a razón de 4 gal/min y la solución mezclada sale a razón de 5 gal/min, entonces el tanque pierde 1 gal de solución en cada minuto que transcurre. Después de t minutos se habrán perdido t galones de solución de los 500 gal iniciales. Es decir, después de t minutos quedarán en el tanque (500- t)gal de solución, en los que estarán disueltas Q(t)lb del sal, por lo que la concentración de sal en la solución que sale será.

C_S=(Q(t))/(500-t) lb/gal

Entonces

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