Matematica aplicada

Semana 4 Grupo B_12.04.2021

[pic 1]

FUNDAMENTOS NUMERICOS

Evaluación de la Semana 4

DERIVADAS

Trabajo Grupal

Carrera  : Ingeniería Comercial TLU

Docente:         Marjorie Daphne Caldera Calvert

Alumnos:        

Derivada de una constante = 0

Ejemplos:

• Derivada de 2 = 0
• Derivada de 3 = 0

Derivada de una potencia 𝒙ª = a * 𝒙ª‾¹

Ejemplos:

• Derivada de 𝑥³ = 3𝑥²
• Derivada de 𝑥²=2𝑥¹=2𝑥                

Derivada de una división f’(x) = 𝑢′ (𝑥)∗𝑣(𝑥)−𝑣′ (𝑥)∗𝑢(𝑥)         Con f(x) = 𝒖/𝒗

                                                [𝑣(𝑥)]²                       

Derivada de una multiplicación f’(x) = u’ * v + u * v’              Con f(x) = u * v          

Derivada de una suma = Suma de las derivadas

Ejemplos:

• Derivada de x² + 2x = Derivada de x² + Derivada de 2x = 2x + 2
• Derivada de x + 1 = Derivada de x + Derivada de 1 = 1 + 0 = 1

Desarrollo

Pregunta 1: Calcule la derivada de orden 1 y 2, de las siguientes funciones:

1. f(x) = 𝑥²−9 = u                                        f’ (x)= u’(x)*v(x)-v’(x)*u(x)

          2      ⱱ                                                            [v(x)]²

Anotamos u, v:

u = x² - 9

v = 2

Calculamos u’ y v’, luego reemplazamos en la fórmula:

u’ (x) = derivada de la función del numerador = derivada de x² - 9 = 2x – 0 = 2x

v’ (x) = derivada de la función del denominador = derivada de 2 = 0

u’ (x) = 2x

v’ (x) = 0                                                   Cualquier valor elevado a 0 es 1

=1[pic 2]

=1[pic 3]

=1[pic 4]

=1[pic 5]

Reemplazando:

f’(x) = 𝑢′ (𝑥)∗𝑣(𝑥)−𝑣′ (𝑥)∗𝑢(𝑥) = (2x∗2−0∗x²−9) = 4x= x    Primera derivada de f(x)[pic 6]

                [𝑣(x)]²                     [2]²                  4

Ahora derivamos f ’ (x) =x

Y nos queda f’’ (x) = 1    Segunda Derivada de f (x)[pic 7][pic 8]

f ’(x) = 1* 𝒙¹ = 1 * 𝒙⁰ = 1*1 = 1

RESPUESTA:

f ‘ (x) = x

f ‘’( x)= 1

b)         f(t) = 2t(3 – t) + 4t

1° resolvemos el paréntesis

f (t) = 6t – 2t² + 4t

2° sumamos términos semejantes, en este caso 6t + 4t

f (t) = 10t – 2t²

Derivamos f ‘ (t) =10 – 4t      Primera Derivada de f (t)[pic 9]

Derivamos f ‘ (t)

Y nos queda f’’ (t) = - 4    Segunda Derivada de f (t)[pic 10]

RESPUESTA:

 f ‘ (x) = 10 – 4t

 f ‘’(x) = - 4

1.         g(x) =     2𝑥−5____   

             8𝑥2+ 6𝑥−5

Recordar fórmula de la Derivada de una división

g ‘ x = [pic 11]

Siendo u la función del numerador y v la función del denominador.

u ‘ (x) = Derivada de la función del numerador = derivada de 2x – 5 = 2

v ‘ (x) = Derivada de la función del denominador = derivada de 8x² +6x – 5 =16x+6

u’ (x) = 2 Derivada de u

v’ (x) = 16x + 6 Derivada de v

Reemplazando:

g’ (x) = 𝑢′ (𝑥)∗𝑣(𝑥)−𝑣′ (𝑥)∗𝑢(𝑥)

                [𝑣(𝑥)]²  

g’ (x) =2*(8x²+6x-5)–(16x+6)*(2x-5) = 16x²+12x–10–(32x²-80x+12x-30) =

                     [8x² + 6x - 5]²                        [8x² + 6x – 5]²

g’ (x) =-16x² + 80x + 20             Primera Derivada de g(x)[pic 12]

             [8x² + 6x – 5 ]²

Ahora derivamos g’(x)      g’’(x) = Mismo procedimiento[pic 13]

Y nos queda g’’(x) =      Segunda derivada de g(x) [pic 14]

u(x)= −16x²+80x +20

v(x)= (8x² + 6x – 5) ²

...