Matematica superior
Enviado por André Tito • 29 de Marzo de 2021 • Tareas • 3.140 Palabras (13 Páginas) • 88 Visitas
Integrantes: Emilio Herrera NRC: 2787
Bremer Solano
Bryan Tito
3.1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES VARIABLES. EL MÉTODO DE LA SERIE DE POTENCIAS:
Método de las series de Potencias:
Para resolver la EDO:
[pic 1]
Por el método de series de potencias se realiza el siguiente procedimiento:
- Poner todas las funciones en series de potencias.
- Suponer la solución.
[pic 2]
- Reemplazar la serie y sus derivadas en la EDO y simplificar.
- Igualar potencias e índices.
- Agrupar términos para obtener la fórmula de recurrencia.
- Evaluar en la fórmula de recurrencia para obtener la serie solución.
Solución de EDO’s con coeficientes variables mediante Series de Potencias.
[pic 3]
[pic 4]
Sea: [pic 5]
[pic 6]
3.1.1 Bases teóricas: Puntos ordinarios, puntos singulares.
- Se dice que si entonces se tiene un punto ordinario de la EDO:[pic 7]
[pic 8]
Si y son analíticos en [pic 9][pic 10][pic 11]
- Si , no es punto ordinario de la EDO, entonces se dice que es punto singular.[pic 12][pic 13]
Solución de EDO’s alrededor de punto ordinarios
Teorema: Si es punto ordinario de la EDO:[pic 14]
[pic 15]
Entonces siempre se pueden encontrar 2 soluciones l.i. de la forma:
[pic 16]
Converge para [pic 17]
Ejercicios:
- Resolver las siguientes EDO’s
1) [pic 18]
Suponemos:
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
Reemplazando en la EDO:
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
Por lo tanto:
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
Considerando y como constantes arbitrarias, se obtiene:[pic 32][pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
Para las soluciones:
[pic 36]
Solución general:
[pic 37]
2) [pic 38]
Punto ordinario: [pic 39]
[pic 40]
Suponemos:
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
Reemplazando en la EDO:
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
[pic 50]
3) [pic 51]
Punto ordinario: [pic 52]
[pic 53]
Suponemos:
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
Reemplazando en la EDO:
[pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
[pic 62]
[pic 63]
[pic 64]
Si:
[pic 65]
[pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
[pic 70]
[pic 71]
4) [pic 72]
[pic 73]
[pic 74]
Puntos singulares: [pic 75]
Puntos ordinarios: [pic 76]
[pic 77]
Suponemos:
[pic 78]
[pic 79]
[pic 80]
Reemplazando en la EDO:
[pic 81]
[pic 82]
[pic 83]
[pic 84]
[pic 85]
[pic 86]
[pic 87]
[pic 88]
[pic 89]
[pic 90]
Si:
[pic 91]
[pic 92]
[pic 93]
[pic 94]
[pic 95]
[pic 96]
[pic 97]
[pic 98]
[pic 99]
[pic 100]
[pic 101]
5) Resuelva suponiendo como solución . Compare la respuesta con la que se obtenga por algún método estudiado en unidades anteriores. [pic 102][pic 103]
[pic 104]
[pic 105]
[pic 106]
[pic 107]
1) y 2) en la EDO
[pic 108]
[pic 109]
[pic 110]
[pic 111]
[pic 112]
[pic 113]
[pic 114]
[pic 115]
[pic 116]
[pic 117]
[pic 118]
[pic 119]
[pic 120]
[pic 121]
[pic 122]
Por otro método: Variables Separables
[pic 123]
[pic 124]
[pic 125]
[pic 126]
[pic 127]
[pic 128]
[pic 129]
3.1.2 Solución alrededor de puntos ordinarios. Ecuaciones de Airy y Legendre.
Ecuación de Ayri
La función Ai(x) y la función relacionada Bi(x) son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial.
[pic 130]
conocida como la ecuación de Airy o la ecuación de Stokes. Esta es la ecuación diferencial lineal de segundo orden más simple con un punto de inflexión (un punto donde el carácter de las soluciones cambia de oscilatorio a exponencial).
Solución de la ecuación diferencial de Ayri
[pic 131]
Punto ordinario: [pic 132]
Suponemos:
[pic 133]
[pic 134]
[pic 135]
Reemplazando en la EDO:
[pic 136]
[pic 137]
[pic 138]
[pic 139]
[pic 140]
[pic 141]
[pic 142]
[pic 143]
[pic 144]
[pic 145]
[pic 146]
[pic 147]
[pic 148]
[pic 149]
[pic 150]
[pic 151]
[pic 152]
[pic 153]
[pic 154]
[pic 155]
Ecuación de Legendre
La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de serie de potencias. Esta ecuación surge en muchos problemas de física, especialmente en problemas de valor de límite en esferas.
[pic 156]
donde es una constante.[pic 157]
Solución de la ecuación de Legendre
[pic 158]
[pic 159]
Donde:
[pic 160]
Suponemos:
[pic 161][pic 162]
[pic 163]
[pic 164]
Reemplazando en la EDO:
[pic 165]
[pic 166]
[pic 167]
[pic 168]
[pic 169]
...