Matemática Preparatoria para Ingeniería

Facultad de Ingeniería – USAC                                                                     Matemática Preparatoria para Ingeniería

UNIDAD No. 8

“El mundo esta en manos de aquellos que tienen el coraje de soñar y de correr el riesgo de vivir sus sueños”                Paulo Coelho

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Objetivos de la unidad:

1. Desarrollar en el estudiante habilidades de pensamiento lógico-matemático, espacial y abstracto, para comprender diferencias de áreas, perímetros y volúmenes, en figuras geométricas.
2. Capacitar al estudiante para resolver problemas de áreas y volúmenes en los cuales se vinculen el álgebra y la geometría en similitudes de dimensiones, relaciones de tamaños, distancias, formas y  posiciones de figuras geométricas.
3. Desarrollar en el estudiante destrezas, estrategias y competencias a fin de prepararlos para ingresar a la  Facultad de Ingeniería de la USAC.

     Guía de estudio No. 8.1

Tema:           ELEMENTOS FUNDAMENTALES: PUNTO, RECTA  Y PLANO.

Algunos conceptos

El punto,  en geometría, es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación a otros elementos similares. Estos se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es un elemento geométrico adimensional, no es un objeto físico; describe una posición determinada en el espacio,  en función de un sistema de coordenadas rectangulares.

El punto tiene únicamente posición en el espacio, pero no tiene extensión, ni espesor, por lo que no es posible medirlo.

La recta, o línea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones,  basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

El plano, se genera a partir de una curva moviéndose constantemente en el espacio, sin límites que permitan  establecer un inicio y un final. Si en un plano se toman dos puntos cualesquiera del mismo y a través de ellos se hace pasar una línea recta, todos los puntos de la misma están contenidos en el plano.

Solamente puede ser definido o descrito, en relación a otros elementos geométricos similares.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas paralelas.
• Dos rectas que se cortan.

Aunque las superficies no tienen límites, suele representarse de la forma siguiente:

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Figuras planas

Si una porción de un plano está limitado por segmentos de recta o por una o varias curvas, se le denomina figura plana. Se caracteriza por tener extensión longitudinal. La medida de una figura plana se llama área o superficie.

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Círculo                 Triángulo rectángulo       Elipse                    Rombo      Triángulo equilátero

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Cuadrado                  Pentágono                       Hexágono                Rectángulo                 Semicírculo        

Figuras sólidas

Se generan a partir de una figura plana moviéndose continuamente, pudiendo o no cambiar de tamaño en forma continua.  Una figura sólida se extiende en tres direcciones, conocidas generalmente como largo, ancho y fondo (o espesor). La medida de un sólido es llamada  volumen o capacidad.

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                 Cubo                        Cilindro                  Paralelepípedo                         Esfera

Segmento

Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.

Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a éste.

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Ejercicios:

1. Describa cual es la diferencia entre figura plana y figura sólida
2. ¿Cuál es la diferencia entre recta y punto?
3. ¿A qué se refiere la línea curva?

Principio del formulario

Respuestas:

a) Figura plana: es la que está limitada por segmentos de recta o por una o varias curvas; figura sólida: figura plana moviéndose continuamente y se extiende en tres dimensiones perpendiculares ente sí (largo, ancho y fondo o espesor). La medida de un sólido e llamada capacidad o volumen.

b) Punto es un elemento geométrico adimensional y  tiene una posición en el espacio, pero sin extensión. La recta es una sucesión continua e indefinida de puntos, de una sola dimensión. La recta es la distancia más corta ente dos puntos.

c) La línea curva es una sucesión continua e indefinida de puntos en cualquier dirección que no sea recta.

“Si le prestas atención a tu presente, tu futuro será mejor” El Alquimista

Guía de estudio No. 8.2

“Para el logro del triunfo,  siempre ha sido indispensable pasar por la senda de los sacrificios”      S. Bolívar

Tema:                         ÁNGULOS: CONCEPTO, SISTEMAS DE MEDICIÓN,

CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES

Concepto: Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el origen común.

Un ángulo está formado por:

• Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas.
• Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas.
• Amplitud: lo más importante del ángulo, es la abertura que hay entre los lados.

¿Cómo se miden los ángulos?

a) Los ángulos se miden en grados sexagesimales

1º = 60´;         1´= 60´´ ;         1º = 3,600´´

Para medirlos se utiliza el transportador de ángulos.

b) La otra unidad de medida de los ángulos es en radianes y la equivalencia con grados, es que       2π radianes <> a 360°.

Operaciones con ángulos:

Los ángulos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir:

Suma de ángulos: para  sumar ángulos se colocan sus medidas en tres columnas, los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.
En el resultado, los minutos y los segundos tienen que ser inferiores a 60; si el resultado es mayor que 60, se convierten en unidades del orden inmediato superior.
Por ejemplo:

67´ se convertirían en 7° y se sumaría 1  a los grados, y el sobrante se uniría con los minutos repetitivos

85´´ se convertirían sumaría 1´ y el sobrante se uniría a los minutos respectivos.

Resta de ángulos: para restar ángulos, las medidas se colocan igual que en la suma. Si en el sustraendo el valor absoluto de los minutos y los segundos son mayores que en el minuendo, tendremos que quitar una unidad al orden superior del minuendo y se le añade al inferior, ya convertido como se indicó anteriormente

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