Matrices

Matrices

Definición: Una matriz es un arreglo bidimensional o tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse entre sí.

Es una disposición de valores numéricos y/o variables (representadas por letras), en columnas y filas, de forma rectangular.

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales de la matriz. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m x n; y a m y n se les denomina dimensiones de la matriz.

Las dimensiones de la matriz siempre se dan con el número de fila primero y el número de columnas.

Por lo general se trabaja con matrices formadas por números reales. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base).

Rango de una matriz: Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas. Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas. El rango de una matriz A se simboliza: r(A).

Podemos descartar una línea si:

1 Todos sus coeficientes son ceros.

2 Hay dos líneas iguales.

3 Es proporcional a otra.

4 Una línea es combinación lineal de otras.

Ejemplo:

F3 = 2F1

F4 es nula

F5 = 2F2 + F1

Adición y sustracción de matrices: No todas las matrices se pueden sumar o restar entre sí. La condición necesaria para sumar o restar dos matrices es que tengan la misma dimensión, es decir, que tengan el mismo número de filas y de columnas. Para sumar matrices de la misma dimensión se suman entre sí los elementos que ocupan el mismo lugar en cada matriz. Es decir: suma de matrices de las mismas dimensiones, es la aplicación que asocia a cada par de matrices otra matriz de las mismas dimensiones cuyos elementos se obtienen sumando término a término los elementos correspondientes en dichas matrices.

Ejemplo:

Multiplicación de matrices: En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas reglas.

Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.

Ejemplo:

Multiplicar una matriz por un escalar: Si multiplicamos una matriz por una escalar, multiplicamos cada elemento de la matriz por ese escalar.

Es decir: producto de un número real por una matriz, es la aplicación que asocia a cada par formado por un número real y una matriz, otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando el número real por todos los elementos de la matriz.

Ejemplo:

Tipos:

Matriz fila: Una matriz fila está constituida por una sola fila. Ejemplo:

Matriz columna: La matriz columna tiene una sola columna. Ejemplo:

Matriz rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn. Ejemplo:

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta

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