Matrices

¿Qué es una matriz?

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar aplicaciones lineales(dada una base); en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Orden de una matriz

Una matriz que tenga m filas y n columnas se denomina matriz de orden m x n. La matriz A es de orden 3 x 3 (pero nunca pensemos que es de orden 9). El orden nos indica el número de filas y de columnas que tiene un matriz, es decir, una matriz de orden p x q significa que tiene p filas y g columnas.

Ejemplo:

La matriz 3 -1 4 es de orden 2 x 3 porque tiene 2 filas

2 0 1 y 3 columnas.

Una matriz con una fila y n columnas es un vector en 1Rn .

Ejemplo:

A = (a11, a12, a13) es un vector en 1R3.

B = (b11, b12, …. b32nn) es un vector en 1Rn.

De forma similar, si tenemos una matriz con m filas y una sola columna entonces tenemos un vector en 1Rn.

Ejemplos:

a11

A = a12 es un vector en 1R3.

a13

Expresión general de una matriz

Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Tipos de matrices

• Matriz fila. Es toda matriz de orden 1xn.

. A es de orden 1x5.

b. Matriz columna. Es toda matriz de orden mx1.

. A es de orden 3x1.

c. Matriz nula. Es la que tiene todos sus elementos nulos. La denotaremos por (0).

Son matrices nulas:

,

, ...

d. Matriz rectangular. Es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas.

.

e. Matriz triangular superior. Es aquella matriz cuadrada en la que los términos situados debajo de la diagonal principal son ceros.

f. Matriz triangular inferior. Es aquella matriz cuadrada en la que los términos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

g. Matriz diagonal. Es aquella en la que todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros.

H.- Matriz cuadrada. Es toda matriz que tiene el mismo número de filas que columnas. Es decir m=n. En ellas podemos distinguir:

La diagonal principal. Son los elementos a11, a22, ..., ann.

La diagonal secundaria. Son los elementos a1n, a2(n-1), ..., an1.

Diagonal principal: 1,5,9. Diagonal secundaria: 3,5,7.

I.- Matriz escalar. Es toda matriz en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales.

J.- Matriz unidad (identidad). Es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son unos. Se designa como I.

SUMA DE MATRICES.

Consideremos dos matrices A, BMmxn, es decir, con las mismas dimensiones.

Definimos:

En forma abreviada: si A=(aij), B=(bij) entonces A+B=(aij+bij).

Es decir: suma de matrices de las mismas dimensiones, es la aplicación

...