Matrices

TÍTULO

MATRICES

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN.

1.-INFORMACIÓN GENERAL.

1.1 DEFINICION

1.2 TIPOS DE MATRICES

1.3 PROCEDIMIENTOS DE MATRICES

1.4 OPERACIONES CON MATRICES

1.4.1 SUMA Y DIFERENCIA

1.4.2 PRODUCTOS POR UN NUMERO REAL

1.4.3 TRASPOSICIONES DE MATRICES

1.4.4 PRODUCTOS DE MATRICES

1.5 LA MATRIZ INVERSA

1.5.1 METODO DIRECTO

1.5.2 METODO DE GAUS- JORDAN

1.6 RANGO DE UNA MATRIZ

1.7 DETERMINANTES

1.8 LA REGLA DE SARRUS

1.9 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.10 RELACION ENTRE INVERSA Y LOS DETERMINANTES

1.11 APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES AL CALCULO DEL RANGO

BIBLIOGRAFÍA.

ANEXOS.

INTRODUCCIÓN.

Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.

Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton.

Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente Ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas y Biológicas.

Informe general

MATRICES

DEFINICION

Una matriz es una tabla rectangular de numeros reales dispuestos en filas y columnas del modo:

Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El

primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.

Así el elemento a_23 está en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representarán con letras

mayúsculas.

Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:

A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 2...Qué elemento es a21?

B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3...Qué elemento es b23?

C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 4 x 3...Qué elemento es c42?

En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es m

X n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el Nº de filas y en segundo lugar el de columnas.

TIPOSDEMATRICES

Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

Por ejemplo,

Es una matriz nula de tamaño 2x5.

Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es 1x n.

Por ejemplo,

(1 0-4 9)

Es una matriz fila de tamaño 1 x 4.

Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1, como por ejemplo:

Es una matriz columna de tamaño 3×1

Una matriz cuadrada cuando tiene el mismo número de files que de columnas, es decir su dimensión es n x n. La matriz (■(2&1@3&4)) del primer ejemplo anterior es cuadrada de tamaño 2 x 2 o simplemente de orden 2.

Otro ejemplo de matriz cuadrada es:

de orden 3.

Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal estaría formada por 1,5,0. Se llama traza de la matriz de la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, traza (A)=a_11+a_22+a_33+⋯+a_nn , y el caso de D, Traza (D)=1+5+0=6.

La diagonal secundaria es la formada de los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1.

En la matriz D estaría formada por 3, 5, -3.

Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.

Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principales son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.

Son ejemplos de estas matrices:

Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal.

Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.

Un ejemplo de matriz diagonal sería:

Por último, si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por l_n , donde n es el orden o tamaño de la matriz. Algunas matrices identidad son:

PROCEDIMIENTO DE MATRICES

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Sabiendo que en un a˜no se venden el siguiente número de paquetes:

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.

Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación de expresa con un 0.

Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente.

En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas. Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:

Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unan un punto consigo mismo, ni líneas paralelas, es decir, líneas que conectan el mismo par de puntos.

Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada línea, mediante una flecha. Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:

Figura 6.1: Grafo, Grafo simple y Grafo dirigido.

Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que:

un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la columna j mediante una línea que los una directamente.

un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una línea que los una directamente.

La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior será:

Ejercicio

Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:

Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia:

OPERACIÓN CON MATRICES

SUMA Y DIFERENCIA

Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño.

Por ejemplo:

Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí.

Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices:

a) Conmutativa: A + B = B + A

b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.

d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.

Ejemplo:

Si

Porque:

Ejercicios:

Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X,

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