Matrices

INTRODUCCIÓN

Este investigación está hecho con el fin de saber un poco más sobre la materia y sobre algebra marcial en las solución de problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales, matrices y transformaciones lineales.

Definiendo los elementos necesarios para concebir construir y solucionar modelos matemáticos que involucren sistemas de ecuaciones lineales. Para así conocer las técnicas propias del algebra lineal para manipular matrices, sistemas de ecuaciones, espacios vectoriales valores y vectores propios así como las formas de aplicarlos en las solución de problemas que involucren estos conceptos.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,...

DESARROLLO

1. Defina y explique que es una matriz desde el punto de vista matemático.

Una matriz es una tabla rectangular de números. Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.

Matriz es una colección ordenada de elementos colocados en filas y columnas, o sea es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m por n ( ) donde m y n son números naturales mayores que cero. El conjunto de las matrices de tamaño se representa como , donde es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas.

Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Una vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño .

A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, , se les llaman matrices cuadradas. y el conjunto se denota o alternativamente .

2. Establezca, explique y ejemplifique los tipos de matrices.

a. Matríz cuadrada: Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos de matriz cuadrada:

Puede ser una matriz con valores

O también una matríz con subíndices (Genérica)

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos .

Se llama diagonal secundaria a la diagonal del cuadrado que no es la principal, tiene por extremos los elementos y , como características, todos los elementos tienen la particularidad que sus subíndices suman (n+1), por ejemplo , donde 8 + (n - 7 ) = n + 1.

b. Matriz Rectangular

Es aquella matriz que no es cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de la cantidad de columnas.

Puede ser de dos formas; vertical u horizontal.

c. Matriz Vertical

Es aquella que tiene más filas que columnas.

d. Matriz Columna

Caso especial de matriz vertical que posee una sola columna.

e. Matriz Horizontal

Es aquella que tiene más columnas que filas.

f. Matriz Fila

Caso especial de matriz horizontal que posee una sola fila.

g. Matriz Diagonal

Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos aii.

Matriz diagonal, matriz cuadrada donde sus elementos si .

La matriz identidad es una matriz diagonal.

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas o valores son todos nulas salvo en la diagonal principal, y éstos incluso pueden ser nulos o no. Otra forma de decirlo es que es diagonal si todos sus elementos son nulos salvo algunos de la diagonal principal. Ejemplos de matrices Diagonales:

Puede ser una matriz con valores

O también una matríz con subíndices (Genérica)

Puede ser de otro tamaño e incluso con variables

h. Matriz Escalonada

Es toda matriz en la que el número de ceros que precede al primer elemento no nulo, de cada fila o de cada columna, es mayor que el de la precedente.

Puede ser escalonada por filas o escalonada por columnas.

i. Matriz Triangular superior

Se dice que una matriz es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.

j. Matriz Triangular inferior

Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son nulos.

k. Matriz Identidad

Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0.

La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada

l. Matriz Nula o Matriz Cero

Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea de valor cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son:

Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn asume la forma:

Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, antisimétrica, nilpotente y singular.

m. Matriz Opuesta

Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original.

n. Matriz Traspuesta

Matriz traspuesta (At). Se llama matriz traspuesta de una matriz A a aquella matriz cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A.

Para una matriz , se define la matriz transpuesta de , denotada por

como

Es decir, las filas de la matriz corresponden a las columnas de y viceversa.

o. Matriz Simétrica

Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta.

p. Matriz Antisimétrica

Una matriz es antisimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a la opuesta de su traspuesta.

q. Matriz Ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta.

r. Matriz Normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Matriz Conjugada

Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz por sus valores conjugados. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.

Ejemplo de matrices conjugadas

s. Matriz Invertible

También llamada matriz, no singular, no degenerada, regular.

Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que AA−1 = A−1A = In,

donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea cero.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

t. Matriz Singular o Degenerada

También llamada no regular. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.

u. Matriz Permutación

La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1.

v. Matrices iguales

Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir, aij=bij i=1,..., n j=1,2,..., m.

w. Matriz Hermitiana

Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica

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