MATRICES
Enviado por lisgaby15 • 5 de Octubre de 2014 • Ensayos • 2.608 Palabras (11 Páginas) • 156 Visitas
MATRICES
En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
Ejemplo
Dada la matriz
Es una matriz de tamaño . La entrada es 7.
La matriz
Es una matriz de tamaño : un vector fila con 9 entradas.
TIPOS DE MATRICES
• Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
• Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
• Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
• Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α •A)t = α• At
(A • B)t = Bt • At
• Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
• Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.
Tipos de matrices cuadradas
• Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
• Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
• Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.
• Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
• Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
• Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
• Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
• Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
• Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
• Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
• Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = −At.
• Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A • At = I.
OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES
Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.
SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A= (aij) y B= (bij), se define la matriz suma como: A+B= (aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
PROPIEDADES
• Interna:
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Elemento neutro: A + 0 = A
• Elemento opuesto: A + (−A) = O
• Conmutativa: A + B = B + A
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A= (aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado
...