Mecánica clásica

Prueba de evaluación 5

Mark Jonathan  Hernández  Almeida Escuela Politécnica Nacional, Facultad de Ciencias

Departamento de Física, Mecánica Clásica II 23 de Septiembre de 2021

[pic 1]

Figura 1: Esquema del problema, el círculo de color naranja es el anillo en el plano XZ mientras que el círculo de color morado es el anillo luego de haber rotado un ángulo φ.

El lagrangiano de este problema lo conocemos de una prueba anterior, en mi caso consideré el origen de coordenadas en el centro del anillo. Por facilidad de cálculos escogimos coordenadas esféricas

r, θ, φ junto a sus respectivas ligaduras (r = R y φ˙ = ω) y obtuvimos que el lagrangiano del sistema[pic 2]

es:

L = T −

1        2 ˙2        1

2   2        2

U =        mR θ

2

+        mR ω

2

sen (θ) − mgR (cos(θ) + 1)        (1)

Puesto que la coordenada φ es cíclica tenemos que el momento canónico asociado (pφ) se conserva y

pφ = mR2sen2θω.

1. Para calcular el Hamiltoniano hacemos uso de la transformada de Legendre, así el momento genera-

lizado respecto a θ  es p   = ∂L  = mR2θ˙ =⇒ θ˙ =   pθ     y la función Hamiltoniana nos queda:

θ        ∂θ˙

mR2

˙        p2[pic 3]

1        2 ˙2        1

[pic 4]        [pic 5]

2   2        2

H = θp        L =    θ 

mR2

mR θ

2

— 2 mR ω

sen θ + mgR(cosθ + 1)

   p2[pic 6]

mR2

1        2    p2

2 mR m2R4 −[pic 7][pic 8]

1 mR2ω2 2

sen2θ + mgR(cosθ + 1)

p2        1 p2[pic 9][pic 10][pic 11]

1        2   2        2

[pic 12]

=⇒ H =    θ −        θ  −

mR ω sen θ + mgR(cosθ + 1)

    p2[pic 13]

2mR2

1 mR2ω2 2[pic 14]

sen2θ + mgR(cosθ + 1)        (2)

1. Para encontrar las ecuaciones del movimiento en el espacio de fases es necesario sacar las ecuaciones canónicas de Hamilton, por tanto nos queda:[pic 15]

θ˙ = ∂H(θ, pθ, t)

∂pθ

p˙ = − ∂H(θ, pθ, t)[pic 16][pic 17]

=⇒

=⇒ p˙

θ˙ = pθ 

mR2

= mR2ω2senθcosθ + mgRsenθ[pic 18]

Por tanto las ecuaciones que describen el movimiento en el espacio de fases son:

p˙θ = mR2ω2senθcosθ + mgRsenθ        (3)

θ˙ = pθ 

mR2

(4)

1. Primero vamos a encontrar los puntos de equilibrio del sistema. Consideremos θ = θo como la posición de equilibrio del sistema entonces θ˙ = 0, pθ = 0 y p˙θ = 0, reemplazanndo en la ecuación (3)

nos queda:

0 = mR2ω2senθocosθo + mgRsenθo

0 = mRsenθo(Rω2cosθo + g)

=⇒ senθo = 0 o   Rω2cosθo + g = 0

g

=⇒ θo = 0, π        o  cosθo = − Rω2        (5)[pic 19]

Los dos primeros valores de θo corresponden a un equilibrio inestable y uno estable, respectivamente. Puesto que consideramos que el anillo se encuentra rotando alrededor del eje z, descartamos los puntos

de equilibrio θo = 0, π y nos concentramos en el punto de equilibrio cosθo

= −g , para ello se debe

Rω2

cumplir que    g        1.[pic 20]

Rω2

Para p˙ tenemos la relación: p˙

= dpθ

= dpθ dθ

(A). Y, además, los dos regímenes de velocidad que

θ        θ        dt

dθ dt

existen para este problema son cuando  dθ  < 0 y  dθ  > 0, es decir,  dθ  = −θ˙ y  dθ  = +θ˙.[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

Este resultado lo usamos junto con la ecuación (4) y la relación (A), así para el caso en que dθ < 0 se[pic 25]

tiene:

dt

θ˙ dpθ = mR2ω2senθcosθ + mgRsenθ dθ[pic 26]

  pθ dpθ        2 2

...