Mecanica de fluidos

PROBLEMA 1

El agua para beber que se necesita en una oficina se surte en garrafones de agua. Se introduce uno de los extremos de una manguera de plástico de 0.25 in de diámetro en el garrafon que se coloca sobre un pedestal alto, en tanto que el otro extremo, con una válvula para abrir y cerrar, se mantiene 2 ft abajo del fondo del garrafon. Si el nivel del agua en el garrafon esta a 1.5 ft cuando esta lleno, determine cuanto tiempo mínimo se necesitara para llenar un vaso de 8 oz (= 0.00835 ft3) a) cuando el garrafon acaba de abrirse y b) cuando esta casi vació.

Solución

Asumiendo que: 

1. El flujo es estacionario, incompresible e irrotacional con efectos de fricción insignificantes (por lo que se aplica la ecuación de Bernoulli).
2. Se desprecian todas las pérdidas para obtener el tiempo mínimo de llenado.

Analizando:

Tomamos el punto A en la superficie libre del agua en la botella y el punto B en la salida del tubo de modo que PA =PB = Patm (la botella está abierta a la atmósfera y el agua se descarga a la atmósfera), V1 ≅ 0 (la botella es grande en relación con el diámetro del tubo), y z2 = 0 (tomamos el punto B como nivel de referencia). Entonces la ecuación de Bernoulli se simplifica a:

[pic 1]

Sustituyendo, la velocidad de descarga del agua y el tiempo de llenado se determinan de la siguiente manera:[pic 2]

1. Botella llena (z1=3.5 ft)

[pic 3]

1. Botella vacía (z1 = 2 pies)

[pic 4]

Fuente:  Mecánica de los fluidos Yunus A. Cegel & John M. Cimbala

PROBLEMA PLANTEADO

Un ingeniero necesita humedecer en suelo en el que se encuentra, para ello cuenta con un tanque de Rotoplas y una manguera de 0.5 cm de diámetro. Apoyándose de sus conocimientos de mecánica de fluidos introduce uno de los extremos de la manguera en el tanque que se coloca sobre un pedestal alto, en tanto que el otro extremo, con una válvula para abrir y cerrar, se mantiene 1 m abajo del fondo del tanque. Si el nivel del agua en el tanque esta a 2 m cuando esta lleno, determine cuanto tiempo mínimo se necesitara para llenar una película de agua de  área 25 m² y un espesor de 0.01 cm cuando el tanque acaba de abrirse.

Solución

Asumiendo que: 

1. El flujo es estacionario, incompresible e irrotacional con efectos de fricción insignificantes (por lo que se aplica la ecuación de Bernoulli).
2. Se desprecian todas las pérdidas para obtener el tiempo mínimo de llenado.

Analizando:

Tomamos el punto A en la superficie libre del agua en el tanque y el punto B en la salida del tubo de modo que P1 =P2 = Patm (el tanque está abierto a la atmósfera y el agua se descarga a la atmósfera), V1 ≅ 0 ( el tanque es grande en relación con el diámetro del tubo), y z2 = 0 (tomamos el punto B como nivel de referencia). Entonces la ecuación de Bernoulli se simplifica a:

[pic 5]

Sustituyendo, la velocidad de descarga del agua y el tiempo de llenado se determinan de la siguiente manera:[pic 6]

1. Tanque lleno (z1=3 m)

[pic 7]

PROBLEMA 2

El diámetro de un tanque cilíndrico de agua es DT y su altura es H. El tanque esta lleno con agua, y abierto a la atmósfera. En el fondo se abre un orificio de diámetro DO. con una entrada de bordes redondeados (sin perdidas). Desarrolle una relación para el tiempo necesario para que el tanque a) se vacié a la mitad y b) se vacié totalmente.

Solución

Asumiendo que: 

1. El orificio tiene una entrada suave y, por lo tanto, las pérdidas por fricción son insignificantes.
2. El flujo es estacionario, incompresible e irrotacional con efectos de fricción insignificantes (por lo que se aplica la ecuación de Bernoulli).

Analizando:

Tomamos el punto 1 en la superficie libre del tanque y el punto 2 en la salida del orificio. Tomamos el nivel de referencia en el orificio (z2 = 0), y tomamos la dirección positiva de z hacia arriba. Al notar que el fluido en ambos puntos está abierto a la atmósfera (y por lo tanto P1 = P2 = Patm) y que la velocidad del fluido en la superficie libre es muy baja (V1 ≅ 0), la ecuación de Bernoulli entre estos dos puntos se simplifica a:

[pic 8]

Tenga en cuenta que la superficie del agua en el tanque se mueve hacia abajo a medida que el tanque se vacía y, por lo tanto, z es una variable cuyo valor cambia con respecto a H.

        Denotamos el diámetro del orificio por D y el diámetro del tanque por Do. El caudal de agua del tanque se obtiene multiplicando la velocidad de descarga por el área de la sección transversal del orificio,

[pic 9]

Entonces la cantidad de agua que fluye a través del orificio durante un intervalo de tiempo diferencial dt es[pic 10]

[pic 11]

que, por la conservación de la masa, debe ser igual a la disminución del volumen de agua en el tanque,

[pic 12]

Donde dz es el cambio en el nivel del agua en el tanque durante dt. (Tenga en cuenta que dz es una cantidad negativa ya que la dirección positiva de z es hacia arriba. Por lo tanto, usamos –dz para obtener una cantidad positiva para la cantidad de agua descargada). Ajuste de las ecuaciones. (1) y (2) iguales entre sí y reorganizados,

[pic 13]

La última relación se puede integrar fácilmente ya que las variables están separadas. Sea tf el tiempo de descarga e integrándolo de t = 0 cuando z = zi = H a t = tf cuando z = zf da

Entonces el tiempo de descarga para los dos casos queda como:[pic 14]

1. El tanque se vacía a la mitad: z1 = H y zf = H/2:

[pic 15]

1. El tanque se vacía completamente: z1 = H y zf = 0

[pic 16]

Fuente:  Mecánica de los fluidos Yunus A. Cegel & John M. Cimbala

PROBLEMA PLANTEADO

Un ingeniero quiera vaciar la mitad de un tanque cilíndrico lleno de agua que tiene un diámetro de 1 m y altura de 2m. Para ello hace un agujero en el fondo del tanque con un diámetro de 1 cm. Como solo busca vaciar la mitad del tanque planea sellar el agujero una vez realiza dicha labor, para ello primero debe calcular el tiempo en el que el tanque se halla drenado hasta la mitad de su capacidad.

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