Metodos numericos clase

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MÉTODOS NUMÉRICOS

SEMANA 01:

Motivación. – Los métodos numéricos son técnicas que se san para formular problemas que se resuelven mediante procedimientos aritméticos. Con la aparición de las computadoras digitales se han podido resolver muchos problemas de la ingeniería usando los métodos numéricos, de modo que, las computadoras tienen una influencia significativa en la solución de problemas generados en la ingeniería.

Sin embargo, antes del uso de las computadoras había tres métodos diferentes que los ingenieros aplicaban a la solución de problemas a la ingeniería.

1. Se encuentran soluciones de algunos problemas usando métodos exactos o analíticos.
2. Para el análisis de los sistemas usaron soluciones mediante gráficas. Pero, las técnicas de las gráficas no son muy precisas en encontrar soluciones.
3. La implementación de los métodos numéricos condujo a utilizar reglas de cálculo y calculadoras manuales.

Observación. - Antes del uso de las computadoras, se gastaba muchas energías en la solución de los problemas de la ingeniería. Entonces, hoy en día las computadoras y los métodos numéricos nos proporcionan alternativas para calcular muchos problemas que son sumamente complicados de resolver.

Fundamentos Matemáticos:

1. Las raíces de una ecuación  consiste en determinar la variable x. es decir, [pic 4][pic 3]

1. Para sistemas de ecuaciones algebraicas lineales se busca un conjunto de valores que satisfacen simultáneamente a un conjunto de ecuaciones algebraicas, es decir:[pic 5]

1. Ajuste de curvas, consiste en ajustar curvas directamente a través de puntos para predecir valores, es decir, regresiones e interpolaciones,

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1. Integración, se usa para determinar el área  , es decir:[pic 8][pic 7]

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1. Ecuaciones diferenciales ordinales.

Dado una ecuación diferencial ordinaria , entonces se debe hallar una solución y = y(t), es decir, [pic 12][pic 11]

Modelo Matemático:

Un modelo matemático es una formación o una ecuación que expresa las características fundamentales de un sistema o proceso físico en términos matemáticos.

Ejemplo:[pic 13]

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1. Describe un sistema o proceso natural en términos matemáticos.
2. Representa una simplificación de una realidad.
3. Conduce a resultados predecibles.

Cifras Significativas:

Para el conferencista: El número de cifras significativas es el número de dígitos. Ejemplo:

0.00001945; 0.0001945; 0.001945 tienen 4 cifras significativas.

Observación. - Los ceros no siempre son cifras significativas, puesto que, solo se usa para ubicar el punto decimal.

Aproximaciones y Errores:

1. Error

Definición. - Sea P* una aproximación a P entonces el error se define mediante la expresión:

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1. Error Absoluto

Definición. - El error absoluto se define mediante la expresión:

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1. Error Relativo

Definición. - El error relativo se define mediante la siguiente expresión:

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1. Error Porcentual

Definición. - El error porcentual se define mediante la siguiente expresión:

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1. Aproximación

Se dice que P* aproxima a P con “t” dígitos significativos, si “t” es el entero más grande no negativo. Entonces, se cumple que:

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EJERCICIOS:

1. Si y . Hallar el error absoluto, error relativo y error porcentual.[pic 22][pic 23]

Resolución:

1.  Por teoría, [pic 24]

🡪[pic 25]

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1.  Por teoría, [pic 27]

        🡪 [pic 28]

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1.  Por teoría, [pic 30]

        🡪 [pic 31]

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2. Determinar la aproximación de P* para que el número 10 se aproxime a 10 con 2 cifras significativas.

Resolución:

1.   donde t=2, P=10[pic 33]
2.  [pic 34]

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SEMANA 02:

I) |                     II)                      III)      [pic 53][pic 54][pic 55][pic 56]

Ej.:

1. Si  y . Determine el EA, ER y EP%.[pic 57][pic 58]

Resolución:

• Error absoluto

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• Error relativo

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• Error porcentual

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2. Determine las raíces de la ecuación 31.69x+14.31y=45

                                                             13.05x+5.89y=18.53

a) Con 4 decimales

b) Con 3 decimales para poder completar los valores absolutos, relativos y porcentuales.

Resolución:

Como es un sistema en 2 variables entonces resolvemos por el método de igualación:

1. Para 4 dígitos. 31.69x+14.31y=45

    ∧                         [pic 69][pic 70][pic 71][pic 66][pic 67][pic 68]

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