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Núcleo E Imagen De Una Transformación Lineal


Enviado por   •  5 de Diciembre de 2012  •  3.967 Palabras (16 Páginas)  •  738 Visitas

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N´ucleo e Imagen de una Transformaci´on Lineal

Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM

15 de mayo de 2009

´

Indice

22.1. N´ucleo de una transformaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

22.2. El n´ucleo de una matriz y la tecnolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

22.3. Inyectividad de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

22.4. El Rango de una transformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

22.5. Suprayectividad de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

22.6. N´ucleo e Imagen son subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

22.7. Nulidad y Rango de una Transformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

22.1. N´ucleo de una transformaci´on lineal

Definici´on 22.1

Sea T : V → W una transformaci´on lineal. El n´ucleo T es el subconjunto formado por todos los

vectores en V que se mapean a cero en W .

Ker(T ) = {v ∈ V | T (v) = 0 ∈ W }

Ejemplo 22.1

Indique cu´ales opciones contienen un vector en el n´ucleo de la transformaci´on de R

3

en R

3

definida como

T

x

y

z

=

−2 x + 3 z

−23 x − 15 y − 18 z

−5 x − 3 y − 3 z

dentro de las opciones:

1. v1

= (0, 0, 0)

2. v2

= (12, −28, 8)

3. v3

= (1, −2, 1)

4. v4

= (3, −7, 2)

5. v5

= (2, −4, −4)

6. v6

= (9, −18, −15)

Soluci´on

Antes de pasar a la verificaci´on, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal que

T (x) = A · x. Es decir, aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector x.

Empecemos con la dimensi´on de A: como A se multiplica por la izquierda de x y x ∈ R

3

entonces el n´umero

de columnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A · x es un vector de R

3

, entonces el n´umero de

renglones de A es 3. Si requerimos que

−2 x + 3 z

−23 x − 15 y − 18 z

−5 x − 3 y − 3 z

=

x

y

z

No es dif´ıcil ver

−2 x + 3 z

−23 x − 15 y − 18 z

−5 x − 3 y − 3 z

=

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

x

y

z

es decir que

A =

−2 0 3

−23 −15 −18

−5 −3 −3

El vector v1

est´a en el n´ucleo de T debido a que

T (v1) = Av1

...

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