Números imaginarios:Un número imaginario se denota por bi, donde :b es un número real,e i es la unidad imaginaria.Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.
Rosaariioo89Reseña30 de Marzo de 2016
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Números Complejos
Unidad imaginaria:Se llama así al número [pic 1]y se designa por la letra i.
[pic 2]
Números imaginarios:Un número imaginario se denota por bi, donde :b es un número real,e i es la unidad imaginaria.Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.
x2 + 9 = 0
[pic 3]
Potencias de la unidad imaginaria
i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −i i4 = 1
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
i22
[pic 4]
i22 = (i4)5 · i2 = − 1
Números complejos en forma binómica
Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.
El número a se llama parte real del número complejo.
El número b se llama parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
El conjunto de todos números complejos se designa por [pic 5].
[pic 6]
Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.
Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.
Representación gráfica de números complejos
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:
Por el punto (a,b), que se llama su afijo,
[pic 7]z
Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.
[pic 8]
Operaciones con números complejos en la forma binómica
Suma y diferencia de números complejos
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(5 + 2i) · (2 − 3i) =10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
División de números complejos
El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.
[pic 9]
[pic 10]
Números complejos en forma polar
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).
[pic 14].
Expresión de un número complejo en forma polar. z = rα
Números complejos en forma trigonométrica.
A partir de la forma polar es muy fácil pasar a una nueva forma denominada trigonométrica.
a + bi = rα = r (cos α + i sen α)
Binómica | z = a + bi |
Polar | z = rα |
trigonométrica | z = r (cos α + i sen α) |
[pic 15]
[pic 16]
Ejemplos: Pasar a la forma polar y trigonométrica:
[pic 17] [pic 18] [pic 19] z = 260º = 2(cos 60º + i sen 60º) | [pic 20] [pic 21] [pic 22]z = 2120º =2(cos 120º + i sen 120º) |
[pic 23] [pic 24] [pic 25]z = 2240º =2(cos 240º + i sen 240º) | [pic 26] [pic 27] [pic 28]z = 2300º =2(cos 300º + i sen 300º) |
z = 2 [pic 29] [pic 30]z = 20º =2(cos 0º + i sen 0º) | z = −2 [pic 31] [pic 32]z = 2180º =2(cos 180º + i sen 180º) |
z = 2i [pic 33] [pic 34]z = 290º =2(cos 90º + i sen 90º) | z = −2i [pic 35] [pic 36]z = 2270º =2(cos 270º + i sen 270º) |
Pasar a la forma binómica:
z = 2120º
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica
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