Numero Imaginarios

Número imaginario

En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: es un número imaginario, así como o son también números imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :

1 2 3

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que era una especie de anfibio entre el ser y la nada.

En ingeniería electrónica y campos relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

Propiedades

(se repite el patrón

de la zona azul)

(se repite el patrón

de la zona azul)

Todo número imaginario puede ser escrito como donde es un número real e es la unidad imaginaria, con la propiedad

,

puesto entonces:

que es un número real.

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Del mismo modo, partiendo de:

la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número imaginario, así por ejemplo:

Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos .

Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor.5 Es decir, es justo decir que , y que . Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a una simple demostración:

Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales, supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que cero. Por ejemplo es justo decir que , , por lo tanto, , entonces tenemos que , y obviamente .

Por otro lado, supóngase que , entonces tenemos que , lo cual evidentemente es falso.

Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que , pero si multiplicamos por nos queda que . Por lo tanto tenemos que . Lo que es, igualmente que la suposición anterior, totalmente falso.

Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los números imaginarios es completamente falsa.

AXIOMAS ALGEBRAICOS

Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adición y de la multiplicación.

1. Axiomas de la adición

A1.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado por que llamamos la suma de e .

A1.2 para todo .

A1.3 para todo .

A1.4 Existe un elemento de , denotado por tal que para todo .

A1.5 Para cada existe un tal que .

2. Axiomas de la multiplicación

A2.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado por que llamaremos el producto de e .

A2.2 para todo .

A2.3 para todo .

A2.4 Existe un elemento de , que denotaremos por tal que

A2.5 Para cada tal que no sea cero, existe un tal que .

3. Axioma de distribución Este axioma conecta la suma con la multiplicación:

A3.1 Para todo .

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