Numeros imaginarios

En ocasiones los resultados de muchas ecuaciones cuadráticas no pertenecen al

conjunto de los números reales (R). Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación:

1 0 2

x + x + = que pertenece a la forma general 0 2

ax + bx + c = . Donde: a = 1,

b = 1 y c = 1 son los coeficientes, siendo c el término independiente.

También esta expresión matemática es un trinomio cuadrático primo, por lo que

no se puede factorizar. Para ello se emplea la fórmula cuadrática para poder resolverla.

1,2 x =

a

b b ac

2

4 2 − ± − que al sustituir los valores resulta lo siguiente:

1,2 x =

2(1)

1 (1) 4(1)(1) 2 − ± − =

2

−1± 1− 4

=

2

−1± − 3

Por lo que:

1 x =

2

−1+ − 3 y 2 x =

2

−1− − 3

Donde 1 x y 2 x deberían ser la solución de dicha ecuación cuadrática, sólo que el

valor de − 3 no existe en el conjunto de los números reales. Durante muchos años se

consideró que los números como: − 2 , − 3 , − 4 y − 9 no tenían sentido, ya que

no existía un número real cuyo cuadrado sea igual a – 3, por lo que − 3 no podía ser

considerado como un número real.

FORMA BINÓMICA

Un número complejo es toda aquella expresión algebraica o matemática de la

forma:

Z = a + bi siendo ésta la llamada forma binómica de los números complejos.

Donde: a y b son dos número reales, e i es la unidad imaginaria, recordando que

i = −1 . Por lo que 1 x = 1 + −1 = 1 + i y 2 x = 1 – −1 = 1 – i; estableciendo que

a = 1 y b = 1.

Siendo a + bi la suma de un número real con un número imaginario, y a – bi la

resta de un número real con un número imaginario

Ahora bien, cuando a = 0, el número complejo queda como:

Z = 0 + bi o simplemente Z = bi, llamándose a bi número imaginario puro.

Si b = 0 entonces el número complejo resulta Z = a + 0i o simplemente Z = a,

siendo a un número real.

A continuación se presentan algunos ejemplos de números complejos en forma

binómica, asociados a los números reales y a la unidad imaginaria.

Z = 3 + 5i; donde a = 3 y b = 5

Z = – 1 – 2i; donde a = – 1 y b = – 2

Z = – 2 + i; donde a = – 2 y b = 1

Z = 5 – 2 i; donde a = 5 y b = – 2

Z = – 3i; donde a = 0 y b = – 3

Z = 1 ; donde a = 1 y b = 0

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA “i”

Si i = −1 , pero −1 = (-1) 2

1

, entonces: i = −1 = (–1) 2

1

, donde i = i

1 por lo

que: i

1

= i = (–1)

Ahora bien, elevando al cuadrado ambos miembros de la expresión anterior,

i

(1)(2) = (–1) )(2) 2

1

(

 se obtiene lo siguiente: i

2 = – 1

Si se desean obtener las potencias enteras sucesivas de “i”, donde i

1

= i, esto

se realiza de la siguiente manera:

i 2

= – 1,

i

3

 = (i 2 )(i) = (-1)(i) = – i

i 4 = (i

3

)(i) = (–i)(i) = – i 2

= – (–1) = 1

i

5 = (i 4 )(1) = (1)(i) = i

En adelante se repiten de cuatro en cuatro en forma periódica o sucesiva.

i

6

= –1

i

7

= – i

i

8 = 1

i

9

 = i

i

10

= –1

i

11

= – i

i

12 = 1

i

13 = i

i

14

= –1

i

15

= – i

i

16 = 1

i

17 = i

i

18

= –1

i

19

= – i

i 20 = 1

i

21

= i

.

.

.

.

A continuación, se representa en el plano de los números complejo los

valores de las primeras cuatro potencias de la unidad imaginaria “i”, cuya figura

geométrica es un círculo con radio igual a la unidad (1). Donde en la horizontal está el

eje de los números reales (R), y en la vertical el eje de los números imaginarios (i).

OPERACIONES ARITMÉTICAS

En esta parte se indican las cuatro operaciones básicas que se pueden realizar

con dichos números en forma binómica, cuyos resultados correspondientes siempre

serán en forma binómica.

2.2.1. SUMA o ADICIÓN

Sean los siguientes números complejos: Z1 = a + bi y Z2 = c + di, estos

números se pueden sumar como si fueran binomios, agrupando términos semejantes

resulta lo siguiente:

Z1 + Z2 = (a + bi) + (c +di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplo:

Sean: Z1 = 8 + 4i y Z2 = 12 + 8i, efectuar su suma.

Solución

Z1 + Z2 = (8 + 4i) + (12 +8i) = 8 + 4i +12 + 8i = 8 +12 + 4i +8i = 20 + 12i

Otro símil, puede ser cuando Z1 = – 3 + 2i y Z 2 = 3 – 8i y se desea realizar su

...