Números imaginarios y complejos

Números imaginarios y complejos

1. Unidad imaginaria. La unidad imaginaria corresponde a  y se utiliza para representar soluciones a ciertos polinomios que no poseen todas sus soluciones en los reales (como es el caso de  Las potencias de  forman un ciclo de cuatro términos que se repiten infinitamente; es decía  etc. Este ciclo permite descubrir el valor que posee una potencia de  sin importar que tan grande sea esta, simplemente se busca el múltiplo de 4 más cercano que sea menor al número, y desde ahí se hace el ciclo para poder calcular el valor.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

1. Números imaginarios. Los números imaginarios son de la forma , donde  es un número real e  es la unidad imaginaria. Así como los números reales se representan en una recta numérica lo mismo se puede hacer con los números imaginarios, claro que estos se realizan de forma vertical, como las ordenadas de un plano cartesiano. Se representan sobre el  cuando ; y de la misma forma bajo el  cuando . Cabe señalar que los números imaginarios pueden representar la raíz de cualquier número negativo, por ejemplo . [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

1. Números complejos. Estos números son aquellos que están constituidos por un número real sumado a un número imaginario, de la forma  (con  real); esto nos da a entender que también incluyen a los números reales (cuando ) y los imaginarios (cuando . Se pueden representar como puntos en un plano, donde las abscisas son la parte real del número y las ordenadas son la parte imaginaria.[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

Como vemos en la imagen podemos incluso calcular la distancia desde el punto de origen ().[pic 19]

1. Conceptos de números complejos.

1. Parte real. Se define la parte real de  como el número que no es factor de la unidad imaginaria y su simbología es .[pic 20][pic 21]

1. Parte imaginaria. Se define la parte imaginaria de  como el número que es factor de la unidad imaginaria y su simbología es .[pic 22][pic 23]
2. Módulo o valor absoluto. Como vimos en la imagen anterior podemos calcular la distancia del origen hasta nuestro punto , y para esto se utiliza el teorema de Pitágoras, siendo el valor absoluto de  el resultado de la operación .[pic 24][pic 25][pic 26]
3. Conjugado de . Es el número simétrico de  con respecto al eje real (abscisas). Su simbología es  y se calcula simplemente con cambiarle el signo a la parte imaginaria del número complejo. Ahora bien, la multiplicación de un número complejo con su conjugado termina siempre en el cuadrado del valor absoluto de tal número;  . De esto podemos concluir que el inverso aditivo de  es .[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

1. Operatoria de número complejos. Definiendo  y , con  números reales, tenemos las siguientes operaciones. [pic 33][pic 34][pic 35]

1. Para multiplicar un número complejo por un escalar se multiplica cada parte del número complejo por el escalar; es decir

.[pic 36]

1. Para sumar números complejos se suman las partes reales y las partes imaginarias entre sí; es decir

[pic 37]

Nota: se realiza de forma análoga para la resta.

1. Para multiplicar números complejos se multiplica término a término, según la propiedad distributiva; es decir

[pic 38]

1. Para dividir números complejos se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor; es decir

, realizando luego la multiplicación.[pic 39]

Ejercicios propuestos

1.- El valor de    es:[pic 40]

A) [pic 41]

B) [pic 42]

C) [pic 43]

D) [pic 44]

E) [pic 45]

2.- El producto del conjugado del complejo  con el complejo  es igual a:[pic 46][pic 47]

A) [pic 48]

B)[pic 49]

C) [pic 50]

D) [pic 51]

E) [pic 52]

3.- Si  [pic 53] y [pic 54], el complejo conjugado de  es[pic 55]

A) [pic 56]

B) [pic 57]

C) [pic 58]

D) [pic 59]

E) [pic 60]

4.-   corresponde al complejo:[pic 61]

A) [pic 62]

B) [pic 63]

C) [pic 64]

D) [pic 65]

E) [pic 66]

5.- El resultado de [pic 67]

A) [pic 68]

B) [pic 69]

C) [pic 70]

D) [pic 71]

E) [pic 72]

6.- ¿Cuál (es) de los siguientes complejos tienen el mismo modulo?

I. 3-5i     II. [pic 73]   III. [pic 74]

A) Solo I y II

B) Solo II y III

C) Solo I y III

D) I, II y III

E) Ninguno tiene el mismo módulo

7.- ¿Cuál debe ser el valor de k para que [pic 75]tengan el mismo módulo?

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