OBRA DE HENRI POINCARÉ

OBRA DE HENRI POINCARÉ

TEORÍA DE FUNCIONES:

Antes de los treinta años Poincaré se hizo mundialmente famoso por el descubrimiento, que marcó una época, de las Funciones Automorfas de una variable compleja (o como él las llamó Funciones Fuchsianas y Kleinianas). Casos particulares de funciones automorfas habían sido estudiados antes de Poincaré (por ejemplo, funciones periódicas) pero las generalizaciones que este introdujo revelaron la existencia de funciones hasta ahora desconocidas, como las theta-fuchsianas, que además podían ser utilizadas, como demostró él mismo, para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes algebraicos. (Poincaré comenzó a trabajar en este tema a raíz de la convocatoria, en 1880, de un premio por parte de la Académie des Sciences, que tenía como tema el de "Perfeccionar en cualquier punto importante la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias de una sola variable independiente").

ANALYSIS SITUS

En 1895 publicó su Analysis Situs, un tratado sistemático sobre topología. Le convirtió en el fundador de la topología. Uno de cuyos principales problemas es el reconocer cuando dos objetos son topológicamente equivalentes, lo que significa que uno se obtiene del otro por una deformación continua, sin singularidades llamada isotopía. En las isotopías hay propiedades que permanecen y se llaman invariantes. Poincaré ideó interesantes invariantes de naturaleza algebraica, que forman el núcleo de la topología algebraica, como el grupo fundamental o grupo de Poincaré.

CONJETURA DE POINCARÉ

Una variedad tridimensional cerrada con grupo fundamental trivial es homeomorfa a la esfera tridimensional.

Más técnicamente, en 1904, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) conjeturó que el resultado obtenido para la esfera n=2 del espacio de dimensión 3 tenía un análogo para la esfera n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras, en el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión n=3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3. Pero Poincaré no consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura de Poincaré cobró interés hasta convertirse en el problema abierto más notable de la topología geométrica, con destacables implicaciones para la Física. Más aún, llegó a convertirse en uno de los problemas sin resolver más importantes de las matemáticas.

En un esfera-2 ordinaria, cualquier lazo se puede apretar continuamente hasta convertirse en un punto en la superficie. ¿Esta condición caracteriza la esfera-2? La respuesta

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