Oscilaciones amortiguadas
Enviado por luisangele_1990 • 9 de Abril de 2014 • 959 Palabras (4 Páginas) • 306 Visitas
5.7 Oscilaciones amortiguadas.
La experiencia nos demuestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un
resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene debido al
amortiguamiento, ya que además de la fuerza elástica F = - k x (que tiende a restaurar
al cuerpo a su posición de equilibrio), actúa otra fuerza de rozamiento proporcional a la
velocidad y de sentido contrario a ésta Fr = - l v, donde l es una constante que depende
del sistema físico considerado.
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La ecuación del movimiento se escribe
Si se tiene en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, y la
velocidad es la derivada primera de x, la ecuación del movimiento es:
donde w0
2 = k / m es la frecuencia propia o natural del sistema oscilante y g =l/(2m) es
la constante de amortiguamiento.
La solución de la ecuación diferencial es
Lo que nos da la características esenciales de las oscilaciones amortiguadas:
• La amplitud de la oscilación disminuye exponencialmente con el tiempo.
• La energía del oscilador también disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr de
rozamiento viscoso opuesta a la velocidad.
• En el espacio de las fases (v-x) el móvil describe una espiral que converge hacia
el origen.
Si el amortiguamiento es grande, g puede ser mayor que w0, y w puede llegar a ser
cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobreamortiguadas). En ambos
casos, no hay oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de
equilibrio. La energía que pierde la partícula que experimenta una oscilación
amortiguada es absorbida por el medio que la rodea.
La posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial
j . Para t = 0, x0 = A • senj v0 = - Ag • senj + A w •cosj
En este sistema de dos ecuaciones se despeja A y j a partir de los datos de x0 y v0
Oscilaciones amortiguadas (g < w0)
Las condiciones iniciales determinan los valores de la amplitud inicial A y de la fase
inicial f. En nuestro caso son: t = 0, x = 0, y v = v0.
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Esta ecuación nos da la posición del cuerpo en función del tiempo, cuya representación
gráfica es:
Oscilación crítica (g = w0)
La solución de la ecuación diferencial es:
Si las condiciones iniciales son: t = 0, x = 0, v = v0 , se transforma en:
Oscilación sobreamortiguada (g > w0)
La solución de la ecuación diferencial es:
y con las condiciones iniciales anteriores:
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5.8. Oscilaciones forzadas y resonancia.
Si aplicamos al oscilador amortiguado una fuerza externa oscilante F0 •cos (wf t), donde
wf es la frecuencia angular de dicha fuerza. La ecuación del movimiento de la partícula
es:
y la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial es:
La solución de esta ecuación diferencial
es la suma de dos términos:
• el estado transitorio que depende
de las condiciones iniciales y
que
...