El Circuito RLC Serie: Oscilaciones Amortiguadas

Pues bien, para saber cómo van, primero hay que tener muy claro lo que es un oscilador RLC en serie. Y como es costumbre voy a empezar por lo más sencillo para formar una base y poder construir el resto sobre ella. Así que vamos a ver primero cómo se comporta por separado cada componente. Luego, partiendo de nuestra experiencia intuiremos las ecuaciones que los describen. Haremos un desarrollo matemático de cómo esperamos que se comporten estando juntos e iremos viendo con un simulador el resultado.

La resistencia

Queremos saber la diferencia de potencial en cada elemento. Por empezar en algún sitio, también podríamos hacer las cuentas con la intensidad, va a dar lo mismo. El desarrollo que sigue no pretende en absoluto ser riguroso (aunque es correcto -salvo error- no lo hagas en un examen); mi objetivo es obtener la frecuencia y la amplitud de las oscilaciones utilizando herramientas básicas de matemáticas.

Así que veamos la diferencia de potencial entre los bornes de una resistencia. Esto ya está más que sabido. La Ley de Ohm nos dice que la caída de tensión en una resistencia es proporcional a la intensidad que la atraviesa, y a su valor. Escrito matemáticamente sería algo así:

\[V = IR\]

No tiene más misterio (a menos que queramos obtener la R en función de los parámetros microscópicos del hilo como el grosor, el material, etc, que podríamos, pero por hoy nos vale así).

El condensador

Primero vamos a pensar cómo se comporta un condensador en un circuito. Un par de ejemplos, situamos un condensador...

A la salida de un rectificador de corriente alterna, para obtener corriente continua.

En paralelo con una batería en un circuito que maneja cargas instantáneas como un relé.

Cuando ponemos el condensador en una tensión continua, se carga, y ya deja de pasar intensidad a través de él hasta que haya alguna variación en la tensión de entrada. Cuando hay, por ejemplo, una caída de la tensión de alimentación por un exceso de consumo del circuito, el condensador se empieza a descargar y suple durante un instante la alimentación, con lo que el resto del circuito no nota el corte. Diríamos que el condensador se opone a los cambios de tensión. Y cuando cambia, intenta recuperar el valor que tenía antes.

Es decir, cuando variamos el potencial de un condensador, que en principio está en equilibrio y por el que no fluye ninguna intensidad, empieza a pasar una corriente que es más grande cuanto mayor es el cambio en el potencial, y este efecto es proporcional a la capacidad que tenga el componente. Matemáticamente lo expresaríamos así:

\[I_C = C {dV_C \over dt}\]

Pensemos en esa ecuación, la intensidad es la derivada de la tensión... ¿Y si le metemos una señal senoidal, de una frecuencia que queramos? Ojo, que utilizar una senoidal no es por capricho, es importante porque hay un teorema que dice que cualquier señal periódica, de la forma que sea, al final es una suma de señales senoidales. Pues eso, le aplicamos una onda al condensador:

\[V = V_0 \cos (\omega t)\]

V0 es una constante, de hecho es la amplitud de la onda. Lo que nos interesa ahora es la forma, no su valor. La derivada del coseno es el seno cambiado de signo:

\[I = {dV \over dt } = - V_0 \omega \sin (\omega t)\]

Pero por la forma periódica de las funciones seno y coseno, se demuestra que:

\[- \sin(\alpha) = \sin(-\alpha) = \cos(\alpha + 90^\circ)\]

Y utilizando esto nos sale:

\[I = V_0 \omega \cos (\omega t + 90^\circ)\]

O sea que la intensidad, está adelantada 90º respecto a la tensión. No significa que el condensador sea un adivino que sabe en cuánto va a estar la tensión para poner la intensidad en ese valor un momento antes. Hablamos de señales que se repiten, y lo mismo se puede decir que está adelantada 90º como que está retrasada 270º. Son sólo formas de hablar. Fijaos en esta gráfica, los picos en la I suceden un tiempo antes que los de la V. Ese tiempo es un cuarto del periodo total, lo que es justamente 90 grados.

Podéis hacer click en los gráficos para verlos más grandes.

Volviendo a lo de antes, tenemos la intensidad en función de la tensión, pero para dejarlo parecido a como lo hemos hecho antes con la resistencia me interesa lo contrario, la tensión en función de la intensidad. Así que despejo la V. Como es una derivada tendré que integrar, y la C (que es constante) pasa dividiendo sin más:

\[V_C = {1 \over C} \int I_C\,dt\]

Esta expresión es un poco fea pero no os preocupéis, que nos la vamos a quitar de encima rápidamente.

El artículo de la wikipedia en español es muy breve, pero el de la wikipedia inglesa está bastante bien: RC circuit.

La bobina

Seguro que hemos oído alguna vez que una bobina en serie es parecida a un condensador en paralelo, en relación a que ambos dejan pasar las bajas frecuencias y filtran los ruidos en la línea de alimentación. Con una cierta experiencia en electrónica esto ya nos sugiere que la ecuación va a ser muy parecida a la del condensador, sólo que cambiando tensión por intensidad.

Supongamos que tenemos una bobina y le aplicamos 5 voltios de una batería. Cuando pasan unos segundos llegamos a un estado estacionario, donde la corriente que pasa sólo la limita su resistencia interna; porque está hecha de cobre y el cobre tiene resistencia. Ahora llegamos y duplicamos la tensión, le metemos 10 voltios; y como la resistencia interna sigue siendo la misma, tendrá que pasar el doble de intensidad. Y se supone que mediríamos el doble de tensión, por la ley de Ohm. Pero resulta que no es instantáneo. Al medir, durante unos instantes la tensión es mucho mayor de lo que esperaríamos según la ley de Ohm. Se debe a que la intensidad que recorre una bobina no puede cambiar de golpe, la bobina es un dispositivo que se opone a los cambios de intensidad. Diríamos que tiene cierta inercia.

Lo mismo pasa cuando desconectamos la tensión. Esta cae a cero, pero la bobina intenta mantener la intensidad a toda cosa. Con lo que se genera un pico de tensión. Se dice que la bobina genera una tensión inducida de tal sentido que se opone al cambio que la produce. Es la llamada fuerza contra-electromotriz y es la que aprovechamos para dar calambre, pero también es causante de que pongamos un diodo en paralelo con un relé cuando lo activamos mediante un transistor y de que nos tengamos que quebrar la cabeza para controlar un motor con un TRIAC. De lo contrario esa tensión auto-inducida va a quemar el transistor de salida o va a alterar el TRIAC haciendo que permanezca encendido siempre.

Luego la caída de potencial en una bobina es proporcional al cambio en la tensión y, claro está, al valor de su inductancia.

\[V_L = L {dI_L \over dt}\]

Por eso se dice que hay un desfase entre la tensión y la intensidad, igual que con el condensador pero con signo contrario.

Ahora vemos lo que pasa cuando le aplicamos una una senoidal:

Sí, los picos en la V ocurren antes que en la I. Decimos que la corriente va retrasada respecto a la tensión, o bien que la tensión se adelanta respecto a la intensidad. Como son señales periódicas lo mismo nos da.

Os dejo este enlace a la wikipedia, lo mismo que para el condensador, por si os interesa verlo con más detalle: RL circuit.

El circuito RLC en serie

Este artículo, tiene un doble propósito. Además de hacer un desarrollo para que veáis cómo funciona un oscilador, quiero que seáis conscientes de una de las cosas más fascinantes de la ciencia: cómo dos fenómenos, completamente distintos en apariencia, que superficialmente nada tienen que ver el uno con el otro, se describen con la misma ecuación. Porque, en el fondo, son lo mismo.

En este caso hablamos de un circuito RLC, pero también podríamos hablar de un muelle con una pesa. Totalmente distintos en apariencia. Por debajo son iguales: osciladores armónicos. Ambos tienen una variable (la velocidad, la posición), un elemento que fuerza a que esa variable se quede en el centro como está (un condensador, un muelle) y un elemento que tiene inercia (la bobina, la pesa), y hace que esa variable no se centre nunca en la posición de reposo sino que pase de largo en un sentido y otro, o sea que oscile. He aquí una muestra del poder de abstracción que dota a las matemáticas de su potencia, y las hace ser la herramienta que son.

Desarrollo matemático

Decíamos antes que no voy a ser del todo formal, pero si pongo algo que es claramente erróneo por favor dejad un comentario.

Partimos de las ecuaciones que hemos justificado antes. Fijaos que no las hemos deducido, simplemente os he puesto la ecuación y os he dado una justificación más o menos buena para convenceros de que así tiene que ser.

La resistencia es nuestra fuerza de rozamiento que amortigua las oscilaciones. Decíamos que es lineal, que cuando crece la tensión crece la corriente y viceversa.

\[V_R = RI\]

Para el condensador, nuestra fuerza recuperadora, habíamos obtenido esta ecuación:

\[V_C = {1 \over C} \int I\,dt\]

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