Oscilaciones Amortiguadas

INFORME Nº 5 DE LABORATORIO DE FÍSICA II

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

RESUMEN

En las oscilaciones reales siempre existe una cierta pérdida de energía mecánica, producida por la fricción del medio, de modo que la amplitud de las oscilaciones va disminuyendo con el tiempo hasta detenerse por completo , se habla entonces de oscilaciones amortiguadas. Es así que en este trabajo vamos a estudiar este tipo de movimiento con el objetivo de analizar y demostrar la relación entre la amplitud máxima por ciclo de oscilación y el tiempo, además de hallar la constante de amortiguamiento y el decremento logarítmico en el péndulo de Pohl, instrumento utilizado en la experimentación.

1. INTRODUCCIÓN:

Los sistemas oscilantes idealizados que hemos visto hasta ahora no tienen fricción. No hay fuerzas no conservadoras, la energía mecánica total es constante y un sistema puesto en movimiento sigue oscilando eternamente sin disminución de la amplitud.

Sin embargo, los sistemas del mundo real siempre tienen fuerzas disipadoras, y las oscilaciones cesan con el tiempo si no hay un mecanismo que reponga la energía mecánica disipada.

Si una campana que oscila se deja de impulsar, tarde o temprano las fuerzas amortiguadoras (resistencia del aíre y fricción, en el punto de suspensión) harán que deje de oscilar.

En este capítulo, estudiaremos el caso en el cual en una oscilación intervienen las fuerzas de fricción, y entonces el movimiento armónico simple ya no explica este fenómeno muy bien. Diremos que estamos ante un movimiento armónico del tipo amortiguado.

2. OBJETIVOS:

General:

• Determinar experimentalmente la relación funional entre la amplitud de oscilación y el tiempo para intensidades de corriente iguales a 0 (A) y 0,2 (A)

Específicos;

 Observar las características del movimiento armónico amortiguado.

 Verificar la validez del modelo teórico del movimiento armónico amortiguado

3. FUNDAMENTO TEÓRICO:

El péndulo de Pohl consta de un disco giratorio que oscila respecto de su posición de equilibrio. La fuerza recuperadora que permite la oscilación se debe a un resorte helicoidal. El rozamiento del sistema no es despreciable. Por el rozamiento, cuando el disco se mueve de su posición de equilibrio y empieza a oscilar, las oscilaciones van perdiendo amplitud gradualmente.

Podemos considerar el péndulo de Pohl como un aro circular plano, que gira respecto a un eje perpendicular a él y pasa por su centro de masas. El aro está conectado a un resorte de tipo helicoidal, de tal manera que cuando se separa de su punto de equilibrio, un ángulo θ, el resorte trata de devolverlo a su posición de equilibrio con una fuerza proporcional a la distancia, dada por la ley de Hooke. Si no hubiera amoritguamiento, el movimiento resultante se puede considerar un movimiento armónico simple en la variable angular θ. Sin embargo, hay que añadir un término que describa el amortiguamiento.

El resorte helicoidal, al moverse de su posición de equilibrio, ejerce un torque restaurador proporcional al ángulo que se mueve τ= -k * θ; k es la constante elástica. Además este torque es igual al momento de inercia del sistema multiplicado por la aceleración angular τ= I * θ. Por las características del sistema, existe también un torque de amortiguación, proporcional a la velocidad angular del aro que se mueve, que representa el rozamiento del sistema –R * θ; R es un coeficiente de fricción llamado coeficiente de amortiguamiento.

El movimiento oscilatorio amortiguado del sistema, está descrito por la siguiente ecuación diferencial:

I θ + R θ + k θ = 0

k: constante elástica del resorte helicoidal.

I: momento de inercia del sistema.

R: coeficiente de amortiguamiento.

Definiendo la constante de amortiguamiento como:

La frecuencia angular natural para oscilaciones no amortiguadas:

Y la frecuencia angular para oscilaciones amortiguadas:

La ecuación diferencial de este movimiento tiene una solución de la forma:

θ (t) = θoe- δtcos (wt)

donde θo es el ángulo inicial con que empieza la oscilación del sistema en el tiempo t=0. Si medimos el ángulo en unidades arbitrarias, podemos darle el nombre de amplitud A, y la solución está dada por:

A (t) = Aoe-δtcos (wt)

La proporción entre dos amplitudes sucesivas, es decir separadas por un tiempo igual a un período T, es constante e igual a eδT. El exponente de dicha proporción es el decremento logarítmico λ.

λ = δ * T

La disminución de la amplitud causada por fuerzas disipadoras se denomina amortiguación, y el movimiento correspondiente se llama oscilación amortiguada. El caso más sencillo para un análisis detallado es un oscilador armónico simple con una fuerza de amortiguación por fricción directamente proporcional a la velocidad del cuerpo oscilante. Este comportamiento se observa en la fricción por flujo de fluidos viscosos, como en los amortiguadores de los autos o el deslizamiento de superficies lubricadas con aceite. Así, sobre el cuerpo actúa una fuerza adicional debida a la fricción, , donde es la velocidad y b es una constante que describe la intensidad de la fuerza amortiguadora. El signo menos indica que la fuerza siempre tiene dirección opuesta a la velocidad. La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es entonces:

Y la segunda ley de Newton para el sistema es:

O también:

La ecuación anterior es una ecuación diferencial en x; sería igual a la ecuación diferencial del MAS, que da la aceleración en MAS, si no fuera por el término adicional . La resolución de esta ecuación es un problema sencillo en ecuaciones diferenciales, pero no entraremos aquí en detalles. Si la fuerza de amortiguación es relativamente pequeña, el movimiento está descrito por:

La frecuencia angular de la oscilación está dada por:

Podemos verificar que la ecuación (2) es una solución de la ecuación (1) calculando la primera y segunda derivadas de x, sustituyéndolas en la ecuación (1) y viendo si los miembros derecho e izquierdo son iguales. Este procedimiento es sencillo aunque algo tedioso.

El movimiento descrito por la ecuación (2) difiere del caso no amortiguado en dos aspectos. Primero, la amplitud no es constante sino que disminuye con el tiempo a causa del factor exponencial decreciente . La figura siguiente es una gráfica de la ecuación (2) para el caso φ = 0; muestra que, cuanto mayor es , más rápidamente disminuye la amplitud.

Segundo, la frecuencia angular , dada por la ecuación del oscilador (3), ya no es igual a , sino un poco menor, y se hace cero si es tan grande que:

Si se satisface la ecuación (4), la condición se denomina amortiguación crítica. El sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta.

Si es mayor que , la condición se denomina sobreamortiguación. Aquí tampoco hay oscilación, pero el sistema vuelve al equilibrio más lentamente que con amortiguación crítica. En este caso, las soluciones de la ecuación (1) tienen la forma:

donde y son constantes que dependen de las condiciones iniciales, y y , son constantes determinadas por m, k y .

Si b es menor que el valor crítico, como en la ecuación (2), la condición se llama subamortiguación. El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente.

En un diapasón o cuerda de guitarra que vibra, normalmente queremos la mínima amortiguación posible. En cambio, la amortiguación es benéfica en las oscilaciones de la suspensión de un auto. Los amortiguadores proveen una fuerza amortiguadora dependiente de la velocidad para que, cuando el auto pasa por un bache, no siga rebotando eternamente. En la figura lateral vemos el esquema de un amortiguador de automóvil. El fluido viscoso causa una fuerza amortiguadora que depende de la velocidad relativa de los dos extremos de la unidad. Esto ayuda a controlar el rebote y las sacudidas de las ruedas. Para optimizar la comodidad de los pasajeros, el sistema debe estar críticamente amortiguado o un poco subamortiguado. Al hacerse viejos los amortiguadores, el valor de disminuye y el rebote persiste más tiempo. Esto no sólo causa náuseas, perjudica la dirección porque las ruedas delanteras tienen menos contacto positivo con el suelo. Así, la amortiguación es una ventaja en este sistema.

Demasiada amortiguación sería contraproducente; si es excesiva, el sistema estará sobreamortiguado y la suspensión volverá al equilibrio más lentamente. En tal caso, si el auto cae en otro bache, justo después del primero, los resortes de la suspensión todavía estarán comprimidos un poco por el primer golpe y no podrán absorber plenamente el impacto.

En oscilaciones amortiguadas, la fuerza amortiguadora no es conservadora; la energía mecánica del sistema no es constante, sino que disminuye continuamente, acercándose a cero después de un tiempo largo. Si queremos deducir una expresión para la rapidez de cambio de energía, primero escribimos una para la energía mecánica total E en cualquier instante:

Para calcular la rapidez de cambio de esta cantidad, la derivamos respecto al

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