PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES

DE PROBABILIDAD

Elaboró: Héctor Hernández Primitivo Reyes Aguilar

Septiembre de 2007

Mail: primitivo_reyes@yahoo.com

Tel. 58 83 41 67 / Cel. 044 55 52 17 49 12

CONTENIDO

1. Introducción

2. Técnicas de conteo

3. Teorema de Bayes

4. Distribuciones de probabilidad

5. Distribuciones de probabilidad discretas

6. Distribuciones de probabilidad continuas

PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1. INTRODUCCIÓN

La probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en cuaqlquier situación donde podría ocurrir uno de varios resultados posibles. En algunos casos se utiliza de manera informal como por ejemplo: hay un 50% de probabilidad de que llueva.

DEFINICIONES

• Probabilidad: es la posibilidad numérica de ocurra un evento. Se mide con valores comprendidos entre 0 y 1, entre mayor sea la probabilidad, más se acercará a uno.

• Experimento: es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido como el lanzamiento de un dado. Es el proceso que produce un evento.

• Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Para un dado es SS = (1,2,3,4,5,6)

• Evento: es cualquier colección de resultados contenidos en el espacio muestral. Es simple si sólo tiene un resultado y compuesto si tiene varios resultados.

Definición Clásica de Probabilidad. Modelo de frecuencia relativa

La probabilidad de un evento (E), puede ser calculada mediante la relación de el número de respuestas en favor de E, y el numero total de resultados posibles en un experimento.

Ejemplo 1: La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es:

Ejemplo 2: La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es:

Ejemplo 3: La probabilidad de sacar 1,2,3,4,5, o 6 al lanzar un dado es:

 La probabilidad de un evento está comprendida siempre entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S = 1

 Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los “n” elementos relacionados = # Total de resultados posibles.

Probabilidad Compuesta

Es la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre sí.

En la composición existen dos posibilidades: Unión o Intersección .

 Unión de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unión de A y B contiene todos los elementos de el evento A o B o ambos.

 Intersección de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral S, la intersección de A y B está compuesta por todos los elementos que se encuentran en A y B.

Relaciones entre eventos

Existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento: complementarios, condicionales y mutuamente excluyentes.

1. Eventos complementarios: El complemento de un evento A son todos los elementos en un espacio muestral (S) que no se encuentran en A. El complemento de A es:

Ejemplo 4: En el evento A (día nublado), P(A) = .3, la probabilidad de tener un día despejado será 1-P(A) = .7

2. Probabilidad condicional: Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el evento B. La probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido el evento B es:

, si

Ejemplo 5: Si el evento A (lluvia) y B(nublado) = 0.2 y el evento B (nublado) = 0.3, cual es la probabilidad de que llueva en un día nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes

=

Ejemplo 6. Las razones de queja en productos se muestran a continuación:

RAZÓN DE LA QUEJA

Falla eléctrica Falla mecánica Falla apariencia Total

En garantía 18% 13% 32% 63%

Fuera de garantía 12% 22% 3% 37%

Total 30% 35% 35% 100%

Si A es el evento de que la queja es por apariencia y que B representa que la queja ocurrió en el periodo de garantía. Se puede calcular P(Z | B) = P(A y B) / P(B)

P(A | B) = 0.32 / 0.63 = 0.51

Si C es el evento fuera de garantía y D falla mecánica:

P(C|D) = P(C y D) / P(D) = 0.22 / 0.35 = 0.628

 Se dice que dos eventos A y B son independientes si: P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B).

La probabilidad de la ocurrencia de uno no está afectada por la ocurrencia del otro. De otra manera los eventos son dependientes.

Un ejemplo de evento independiente es: ¿Cuál es la probabilidad de que llueva en lunes?

El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo 5.

3. Eventos mutuamente excluyentes.

Cuando un evento A no contiene elementos en común con un evento B, se dice que estos son mutuamente excluyentes.

Ejemplo 7. Al lanzar un dado: a) cual es la probabilidad de que salga 2 o 3? B) Calcule ?

a)

b) = 0, ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la intersección no existe, es imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.

Ley aditiva:

 Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes:

 Cuando los eventos son mutuamente excluyentes:

Ley multiplicativa:

 Si los eventos A y B son dependientes:

 Si los eventos A y B son independientes:

Ejemplo 8: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo), a) calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado, b) si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado.

A: El primer artículo está en buen estado.

B: El segundo artículo está en buen estado.

a) Al ser eventos independientes el primero del segundo:

=

b) Si la muestra se toma “sin reemplazo” de modo que el primer artículo no se regresa antes de seleccionar el segundo entonces:

=

Se observa que los eventos son dependientes ya que para que para obtener el evento B, se tiene que haber cumplido antes el evento A.

EJERCICIOS:

1. Tres componentes forman un sistema. Como los componentes del subsistema 2-3 están conectados en paralelo, trabaja si por lo menos uno de ellos funciona. Para que trabaje el sistema debe trabajar el componente 1 y el subsistema 2-3.

a) ¿Qué resultados contiene un evento A donde funcionan exactamente dos de los tres componentes?

b) ¿Qué resultados están contenidos en el evento B en el que por lo menos funcionan dos los componentes?

c) ¿Qué resultados están contenidos en el evento C donde funciona el sistema?

d) Listar los resultados de C’, A o C, A y C, B o C y B y C.

2. En una planta los trabajadores trabajan 3 turnos. En los últimos años ocurrieron 200 accidentes. Algunos se relacionan con condiciones inseguras y otros a condiciones de trabajo, como se muestra a continuación:

Turno Condiciones inseguras Condiciones de trabajo Total

Diurno 10% 35% 45%

Vespertino 8% 20% 28%

Nocturno 5% 22% 27%

Total 23% 77% 100%

Si se elige al azar uno de los 200 informes de accidentes de un archivo y se determina el turno y tipo de accidente:

a) ¿Cuáles son los eventos simples?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente seleccionado se atribuya a condiciones inseguras?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ocurrido en el turno diurno?

3. La ruta que usa un automovilista tiene dos semáforos. La probabilidad de que pare en el primero es de 0.4, la probabilidad de que pare en el segundo es de 0.5 y la probabilidad de que pare por lo menos en uno es de 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga

a) En ambos semáforos?

b) En el primero pero no en el segundo?

c) Exactamente en un semáforo?

4. Una empresa construye tres plantas eléctricas en tres lugares diferentes. Se Ai el evento en el que se termina la planta i en la fecha del contrato. Utilizar las notaciones de unión, intersección y complemento para describir cada uno de los siguientes eventos, en términos de A1, A2 y A3, mostrar en diagramas de Venn.

a) Por lo menos una planta

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