PROBLEMAS DE CADENAS DE MARKOV

PROBLEMAS DE CADENAS DE MARKOV

1)         El funcionamiento de un equipo de tomografía depende de un generador electromagnético. Cuando este generador falla el equipo deja de funcionar por lo tanto se inspecciona cada día este generador. Supondremos que las fallas y las inspecciones se producen ambas al final de cada día. Cuando el generador falla se necesita un día para repararlo o instalar uno nuevo (se supondrá que el generador nuevo no es defectuoso).

El costo de un generador nuevo es 2500 $, el costo de reparación es de 1000 $ y el costo de un día perdido es 1075 $.

        El jefe del laboratorio considera las siguientes políticas de mantenimiento:

a-        Reemplazar el generador por uno nuevo cada vez que falle

b-        Reparar el generador cuando falle por primera vez y reemplazarlo la  

        segunda vez que falle.

c-        Reparar el generador cuando falle por dos veces consecutiva y reemplazarlo

        la tercera vez que falle.

Sabiendo que la probabilidad de que un generador que opera al momento de una inspección siga funcionado a la próxima inspección es de 0,8 para un generador nuevo; 0,6 para un generador reparado una vez y 0,4 para un generador reparado dos veces.

¿Cuál política de mantenimiento recomendaría al jefe (tomando en cuenta el costo total promedio)?

2)  Un inversionista adquirió acciones de cierta inversión especulativa a 38$ y ha dado órdenes a su corredor de que las venda en cuanto su precio suba a 40$ o más, o baje a 37$  o menos. A partir de observaciones con esta inversión durante las últimas semanas, el inversionista estima que la probabilidad de que el precio suba en 1$ es 0,5 y la probabilidad de que baje 1$ es 0,2 por cada día.

a)        Determínese la matriz de transición para este proceso

b)        ¿Cuál es la probabilidad de que el corredor venda las acciones dentro de 4 días?

c)    ¿Cuál es el tiempo medio antes de que el corredor venda las acciones?

3)         Un grupo de cuatro niños juegan a un juego que consiste en lanzarse una pelota de uno a otro. En cada momento el niño que tiene la pelota siente predisposición especial a lanzarle la pelota a cierto compañero. Las predisposiciones son las siguientes:

         niño predispuesto a niño       niño predispuesto a niño

           A                         B             B                         C

           C                         D             D                         A

No obstante, existe un 40 % de probabilidad de que la pelota sea atajada por cualquiera de los otros dos niños y no por el predilecto. ( Aparte del predilecto, el niño que lanza la pelota no siente ninguna inclinación especial por ninguno de los otros dos).

a)        Defínanse los estados de este proceso y determine la matriz de transición

Si inicialmente la pelota está en manos de A, Calcule:

b)        La probabilidad de que después de lanzar 3 veces la pelota esté en manos de B.

c)        La probabilidad de que después de lanzar 3 veces la pelota esté en manos del niño que la tenía después del primer lanzamiento.

Si inicialmente la pelota está en manos de A, ¿Cuántos lanzamientos promedios transcurrirá?

d)        Hasta que regrese por primera vez a A

e)        Hasta que C la reciba por primera vez

4)         El proceso de producción para la fabricación del producto A, consiste en dos etapas colocadas en paralelo. El producto A tiene un desempeño satisfactorio si una de las dos etapas está en operación. Una etapa tiene una probabilidad 0,3 de descomponerse en un periodo dado y supóngase que la etapa se descompone sólo al final del período. Cuando esto ocurre, la etapa en paralelo opera, si esta disponible al comenzar el siguiente período. Solo se cuenta con una persona que da servicio a las etapas descompuestas y toma dos períodos arreglarlas.

        Sea X, un vector de dos componentes M y N, donde M representa el número de etapas que operan hasta el final del período  y N vale 1 si la persona requiere solo un periodo más para completar la reparación, si lo esta haciendo, y vale cero en cualquier otro caso.

a)        Hallar la matriz de transición

b)        Si el producto A está el estado X=(2,0). ¿Cuál es el valor esperado de periodo en llegar por primera vez al estado X=(1,1)?

c)        Si cuesta 5.000 Bs. por periodo el que la producción no este en operación y cero en otro caso. ¿Cuál es el costo promedio esperado por periodo?

5)         En  un determinado proceso de producción, cada artículo pasa por dos etapas de fabricación. Al final de cada etapa, los artículos se desechan con probabilidad 0,3 se regresan para rehacerlos con probabilidad de 0,2 ó pasan a la etapa siguiente con probabilidad de 0,5

a)        Describir esta situación como una cadena de Markov y establecer la matriz de transición.

1. ¿Cuál es el número esperado de pasos hacia la absorción?
2. ¿Hallar el porcentaje de articulos que en la etapa 1 finalizan?

6)         La matriz de transición P de una cadena de Markov está dada por:

Hallar los valores de a, b y c tales que comenzando desde el estado 3, el número de pasos hacia la absorción sea cuatro y la proporción de ser absorbido en el estado 2 sea el doble de la proporción de ser absorbido en el estado 1.

7)  La matriz de transición P de una cadena de Markov está dada por:

[pic 1]

Hallar los valores de a, b y c tales que comenzando desde el estado 2, el número de pasos hacia la absorción sea siete cuartos y la proporción de ser absorbido en el estado 1 sea el triple de la proporción de ser absorbido en el estado 3.

8)         Una tienda local de artesanía que vende tapices a los turistas puede producir un tapiz al día. El artesano nunca produce un tapiz que sea idéntico a alguno que todavía permanezca sin venderse en la tienda. Por esta razón, la variedad de tapices aumenta de acuerdo con el número de tapices no vendidos y la selección también aumenta las posibilidades de venderlos.

        La experiencia anterior muestra que si sólo se dispone de un tapiz, las probabilidades son de 3/4 de que se venda. Si están disponibles dos tapices, la oportunidades son de 3/4 de que al menos uno se venda y de 1/2 de que ambos se vendan. Para tres tapices, las probabilidades son de 3/5 de que al menos uno se venda, de 3/5 de que al menos dos se vendan y de 2/5 de que se vendan los tres. Si al principio del día quedan tres tapices sin venderse, el artesano toma el día libre, esto es, no fabrica un tapiz ese día, sino que sólo trata de venderlos.

a)        Defínanse los estados de este proceso y determine la matriz de transición.

b)        Si el artesano tiene al comenzar el día tres tapices ¿Cuál es el valor esperado de días en llegar a tener por primera vez dos tapices?

c)        ¿Cuál es la fracción de días que el artesano no se dedica a la producción?

9)         En dos urnas están colocadas 3 esferas  negras y 3 esferas blancas de modo que cada urna contenga 3 esfera. Designemos con X(t) la cantidad de esferas negras en la primera urna en el instante  t= 0,1,2,.... En cada instante de tiempo de número entero se escoge al azar una esfera de cada urna se cambian de lugar.

a)        Mostrar que X(t) es una cadena de Markov y hallar la matriz de transición.

b)        Hallar los estados estacionarios.

10)         Se efectúa una encuesta de mercadeo de tres marcas de alimentos para el desayuno: X, Y y Z. Cada vez que el cliente compra un nuevo paquete puede comprar de la misma marca o cambiarse a otra.

        Se han obtenido los siguientes datos estimados.

- Los clientes de X, el 70% vuelven a comprar X  y el resto de distribuyen en un 60% para Y y un 40% para Z.

- Los clientes de Y, el 50% vuelven a comprar Y  y el resto se distribuyen en un 60% para X y un 40% para Z.

...