PROBLEMAS DE GRAVIMETRÍA

        PROBLEMAS DE GRAVIMETRÍA[pic 2][pic 3]

RESUMEN TEÓRICO

        En este resumen teórico de la Gravimetría sólo se tratará de forma breve aquellas cuestiones necesarias para la resolución de los diferentes bloques de problemas. Sirva sólo como ayuda complementaría a los apuntes y libros de texto que el alumno posee de la asignatura.

1.- Campo y Potencial de la Gravedad.

Podemos ver la Tierra como un sólido con rotación uniforme. De esta forma, todo punto material de está estará sometido a una fuerza gravitatoria debida a la masa terrestre y a una fuerza centrífuga debido a estudiar la dinámica desde un sistema de referencia no inercial que rota unido a la Tierra.  Denominaremos aceleración de la gravedad o campo de la gravedad,[pic 4] , a la suma vectorial del campo gravitatorio,[pic 5], y del campo centrífugo,[pic 6] . Para facilitar los cálculos y para poder determinar la forma de la Tierra, se relacionan estos campos vectoriales con funciones potenciales dando lugar a las siguientes expresiones:

                        [pic 7]

donde W es el  potencial de la gravedad o potencial gravífico, V es el potencial gravitatorio y Φ es el potencial centrífugo. Estos potenciales cumplen la relación: W = VT + Φ. El operador vectorial nabla, ∇, nos permite calcular los gradientes de cada potencial y de esta forma los campos asociados. Las componentes de este operador en coordenadas cartesianas y esféricas son:

                         [pic 8]

        Utilizando las expresiones anteriores las componentes esféricas del campo gravífico serán:

[pic 9]

        Si queremos una expresión analítica para estas componentes necesitamos una expresión analítica para W. Esta tarea es muy complicada debido a que la distribución de masa de la Tierra es compleja. Por ello se determina el potencial de la gravedad para una Tierra idealizada que se aproxime a la real. Este potencial se denomina potencial normal, U, y la gravedad normal,[pic 10], sería su gradiente. El potencial normal se relaciona con el gravífico a través de la siguiente expresión: W = U + T , donde T se denomina potencial anómalo. El potencial normal, por lo tanto, estaría constituido por el potencial centrífugo y el potencial gravitatorio de la Tierra idealizada siendo el potencial anómalo el potencial gravitatorio de las desviaciones de la distribución de masa real de la Tierra frente a la idealizada. [pic 11]

        La aproximación de la Tierra por un elipsoide de revolución es la forma geométrica más usada. La expresión analítica del potencial normal sería entonces: [pic 12] , donde VTi es el potencial gravitatorio de un elipsoide de revolución con masa M (masa total de la Tierra). La expresión de VTi es:

                [pic 13]        , donde r es la distancia desde el punto al centro del elipsoide, θ es el ángulo de colatitud del punto, Iz  e Ix son los momentos de inercia con respecto al eje de rotación y a un eje ecuatorial y G es la constante de gravitación universal.

        La expresión del potencial centrífugo es: [pic 14], donde ω es la velocidad angular de la Tierra. La expresión por lo tanto del potencial normal U para un elipsoide será:[pic 15]

[pic 16]

        La gravedad normal, [pic 17], será el gradiente de U.

        Las superficies equipotenciales de una Tierra aproximada por un elipsoide son superficie elipsóidicas. A la superficie equipotencial de referencia del potencial normal se denomina Elipsoide: U = Uo . Por otro lado, a la superficie equipotencial de referencia del potencial de la gravedad W se denomina Geoide: W = Wo . Esta última superficie coincidiría con la superficie del mar si ésta fuera una superficie libre, o sea, si no estuviera sometida a ninguna fuerza que no sea la de la gravedad. Si hacemos coincidir el valor del  Elipsoide con el del Geoide: Wo = Uo , la distancia entre estas dos superficies, N, se calcularía a través de la fórmula de Bruns: N = Tp /γq . En esta expresión N sería la ondulación del Geoide, Tp el potencial anómalo en el Geoide y γq el módulo de la gravedad normal en el elipsoide. Para el cálculo de la gravedad normal en el elipsoide se utiliza la siguiente expresión:

         = 9.78032 ( 1 + 0.0053025 sen2 - 0.0000058 sen2 2 ) ms-2  ,  donde  es la latitud del punto. Hay diferentes tipos de elipsoides, cada uno de ellos definido por un valor de valor de aplanamiento, α, y  semieje ecuatorial, re. La expresión anterior se refiere al elipsoide GRS80 y será la que se utilizará en los problemas. La superficie de este elipsoide se obtendría a través de la siguiente fórmula: [pic 18] , donde φ es la latitud del punto.[pic 19]

        2.- Anomalías de la gravedad.

Para obtener el potencial anómalo en un punto del Geoide necesitamos conocer el valor de la anomalía de la gravedad, Δg. Esta se define como la gravedad en el geoide menos la gravedad normal en el elipsoide: Δg = gp - γq. En la mayoría de las ocasiones no se tiene directamente la gravedad de un punto en el Geoide pudiéndose calcular a través de diferentes reducciones. La reducción aire-libre consistiría en hacer la reducción de la gravedad sin considerar masa entre el punto y el Geoide. Para hacerlo sólo debemos sumar a la gravedad medida en el punto la corrección aire-libre, F. El valor de esta corrección se calcula con la expresión: F = 0.3086 h  mgales,  donde h es la altura en metros.

 La reducción de Bouguer completa consiste primeramente en eliminar la masa entre el punto y el Geoide para luego realizar una reducción aire-libre. La eliminación de la masa se lleva a cabo construyendo primeramente una capa de Bouguer con la corrección topográfica para después eliminarla. La gravedad reducida por Bouguer menos la gravedad normal en el elipsoide nos daría como resultado la anomalía de Bouguer. Las relaciones matemáticas para realizar estos cálculos, siendo h la altura del punto, serían:

Gravedad reducida por aire-libre: gAl = g + F

            Anomalía aire-libre: ΔgAl = gAl - γ = g + F- γ

            Corrección topográfica: At

Atracción gravitatoria de la capa de Bouguer: AB = 2πGρh = 0.1119 h  mgales, h en metros sí ρ = 2.67 g/cm3

        Gravedad reducida por Bouguer: gB = g +At - AB + F = gAl + At - AB

        Anomalía de Bouguer: ΔgB = gB - γ = g + At - AB + F - γ = ΔgAl + At - AB

        En determinadas zonas montañosas las anomalías de Bouguer son muy altas y de signo negativo. Esto es debido a que existe deficiencia de masa producida por la compensación isostática. La compensación isostática de las masas que componen la parte superior de la Tierra se puede estudiar teniendo en cuenta dos teorías:

1. La teoría de Pratt-Hayford

1. La teoría de Airy- Heiskanen.

a) En la teoría de Pratt-Hayford existe un nivel de compensación situado a una profundidad D desde el geoide en torno a los 100 Km, a partir de la cual todos los puntos sufren la misma tensión (isostasia). Suponemos que la tensión es producida por la masa situada encima de un punto localizado en el nivel de compensación y dividimos la región por encima de este nivel en columnas cilíndricas de igual sección, S. De esta forma, la distancia desde el punto donde conocemos la gravedad hasta el nivel de compensación sería h + D, siendo h la altura de este punto. Si se considera toda la columna cilíndrica con una misma densidad, ρ1, y aplicamos la isostasia respecto a una columna de referencia que no tenga elevaciones sobre el geoide y posea una densidad media de  ρc = 2.67 g/cm3, obtendríamos la siguiente expresión: (D + h) S ρ1 = D S ρc . La densidad ρ1 sería entonces menor que ρc  y la deficiencia de masa en toda la columna situada debajo del punto vendría dada por Δρ = ρc - ρ1 = (h / (D + h)) ρc. En el caso que se considere la parte de la columna cilíndrica por encima del geoide a densidad ρc  y la parte desde el geoide hasta el nivel de compensación con densidad ρ2, se cumpliría la isostasia con respecto a la misma columna de referencia de la forma: D S ρ2 + h S ρc = D S ρc , dando una densidad ρ2 menor que ρc y una deficiencia de masa caracterizada por Δρ = ρc - ρ2 = (h / D ) ρc . En cualquier caso, la atracción de compensación, Ac, que habría que calcular sobre el punto para restaurar la deficiencia de masa sería:

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