Probabilidad

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

Introducción:

En algunos problemas de toma de decisiones sucede que las decisiones se toman sobre la base de fenómenos asociados con la incertidumbre, la variación debida a la incertidumbre en lugar de tratarla cualitativamente, se describe mediante un modelo de probabilidad.

Espacios muestrales y eventos:

Un experimento es llevar a cabo cualquier acción o proceso el cual puede ser una medición, u observación, también podemos definir a un experimento como un proceso que genera y registra datos y/o observaciones.

Los experimentos pueden clasificarse en estocásticos  en los cuales se involucra incertidumbre y en determinísticos en los cuales no existe incertidumbre.

Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se le llama espacio muestra y se representa por S.

Todo subconjunto del espacio muestra es llamado evento o suceso estos eventos podemos clasificarlos en simple si está formado por un sólo elemento del espacio muestra o bien evento compuesto si está formado por más de un elemento del espacio muestra.

Los eventos pueden combinarse para obtener otros eventos, mediante las operaciones de unión o intersección, otra operación de un evento es su complemento.

Cuando dos eventos no tienen elementos en común, diremos que son mutuamente excluyentes o disjuntos.

Axiomas, interpretaciones y propiedades de la probabilidad:

Axiomas:

Para cualquier evento A, 0≤P(A)≤1

P(S)=1

Si A∩B=ø, P(A∪B)=P(A)+P(B)

La interpretación más común para la probabilidad es la basada en frecuencia relativa, esto es,  [pic 1]

Para cualquier evento A, P(A’)=1-P(A)

Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A∩B)=0

Para dos eventos cualesquiera A y B, P(A∪B)=P(A)+P(B)- P(A∩B)

Es común que en muchos experimentos que constan de varios resultados, a cada resultado se le considere la misma probabilidad.

Técnicas de conteo:

Dado que para el cálculo de probabilidades nos interesa conocer el número de resultados posibles y favorables para un evento, es importante conocer algunas reglas generales de conteo.

Si el primer elemento de una pareja ordenada se puede seleccionar de n formas y el segundo elemento de m formas, entonces el número de parejas que se pueden formar está dado por nm.

Una manera de visualizar los problemas de conteo es mediante diagrama de árbol, la cual es una forma de representar gráficamente todas las posibilidades.

El principio multiplicativo se puede generalizar a n factores

Cualquier secuencia ordenada de k objetos tomada de un conjunto de n objetos distintos se llama permutación y el número de permutaciones está dada por
[pic 2]

Cualquier subconjunto no ordenado de k objetos es llamado combinación y el número de combinaciones está dado por
[pic 3]

Probabilidad condicional

En ocasiones al realizar un experimento algunos resultados se obtienen primero y después otros, esta primera información puede ser útil en las predicciones de los siguientes resultados, con esta finalidad introducimos el concepto de probabilidad condicional.

Consideremos que los eventos A y B donde B es un evento que ya ocurrió y A es un evento cuya ocurrencia o no ocurrencia es en la que tenemos interés, la probabilidad condicional de que ocurra A dado que ya ocurrió B está dada por

[pic 4]

  En el caso de la probabilidad condicional lo que sucede es que se trabaja con un espacio muestra reducido, esto es, de tener el espacio muestra S se reduce al evento B y en consecuencia puede modifica a otros eventos.

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