Probabilidad

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA GRANDES MUESTRAS

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS

Sea f(x) la distribución de probabilidad de alguna población dad, de la que s toma una muestra de tamaño n. Entonces, es natural preguntarse por la distribución de probabilidad del estadístico muestra X, que se conoce como distribución muestra de la media o distribución muestra de medias.

TEOREMAS

TEOREMA 1.5: La media de la distribución maestral de medias, que se denota como está dada por

Donde es la media de la población.

TEOREMA 1.6: Si una población es infinita y el muestreo es aleatorio o si la población es finita y el muestro se hace con reemplazo, entonces la varianza de la distribución muestra de la media, que se denota está dada por

Donde es la varianza de la población.

TEOREMA 1.7: Si el tamaño de la población es N, el muestreo se hace sin reemplazo, sin derivación, y el tamaño de la muestra n≦N, entonces en vez de (5) se utiliza:

mientras que sigue siendo la dada por (4).

TEOREMA 1.9: Si la población de la que se toman las muestras está distribuida normalmente con media u y varianza o, entonces la media muestra está distribuida de manera normal, con media u y varianza u^2/n

TEOREMA 1.10: Suponga que la población de la que se toman las muestras tiene una distribución de probabilidad con media u y varianza o^2, que no necesariamente es una distribución normal. Entonces, la variable estandarizada correspondiente a X, esta dada por:

Es asintóticamente normal, es decir

EJEMPLOS

1.- UNA POBLACION CONSTA DE CINCO NUMEROS: 2, 3, 6, 8, 11. CONSIDERARA TODAS LAS MUESTRAS POSIBLES DE TAMAÑO DOS QUE PUEDAN EXTRAERSE CON REEMPLAZO DE ESTA POBLACION. ENCONTRAR A) LA MEDIA DE LA POBLACION, B) LA DESVIACION ESTANDAR DE LA POBLACION, C) LA MEDIA DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS.

R:

a)

.

b)

y

c) Hay 5(5) = 25 muestras de tamaño dos que pueden extraerse con reemplazo (ya que cada uno de los cinco numero de la primera extracción puede combinarse con cualquiera de los cinco de la segunda extracción), estas muestras son:

(2,2) (2,3) (2,6) (2,8) (2,11)

(3,2) (3,3) (3,6) (3,8) (3,11)

(6,2) (6,3) (6,6) (6,8) (6,11)

(8,2) (8,3) (8,6) (8,8) (8,11)

(11,2) (11,3) (11,6) (11,8) (11,11)

Las correspondientes medias muserolas son:

2.0 2.5 4.0 5.0 6.5

2.5 3.0 4.5 5.5 7.0

4.0 4.5 6.0 7.0 8.5

5.0 5.5 7.0 8.0 9.5

6.5 7.0 8.5 9.5 11.0

y la media de la distribución muestral es:

lo que ilustra el hecho de que uX = u.

2.- UNO DE LOS PRINCIPALES FABRICANTES DE TELEVISORES COMPRA LOS TUBOS DE RAYOS CATÓDICOS A DOS COMPAÑÍAS. LOS TUBOS DE LA COMPAÑÍA A TIENEN UNA VIDA MEDIA DE 7.2 AÑOS CON UNA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE 0.8 AÑOS, MIENTRAS QUE LOS DE LA B TIENEN UNA VIDA MEDIA DE 6.7 AÑOS CON UNA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE 0.7. DETERMINE LA PROBABILIDAD DE QUE UNA MUESTRA ALEATORIA DE 34 TUBOS DE LA COMPAÑÍA A TENGA UNA VIDA PROMEDIO DE AL MENOS UN AÑO MÁS QUE LA DE UNA MUESTRA ALEATORIA DE 40 TUBOS DE LA COMPAÑÍA B.

R:

Datos:

A = 7.2 años

B = 6.7 años

A = 0.8 años

B = 0.7 años

nA = 34 tubos

nB = 40 tubos

= ?

3.- SE PRUEBA EL RENDIMIENTO EN KM/L DE 2 TIPOS DE GASOLINA, ENCONTRÁNDOSE UNA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE 1.23KM/L PARA LA PRIMERA GASOLINA Y UNA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE 1.37KM/L PARA LA SEGUNDA GASOLINA; SE PRUEBA LA PRIMERA GASOLINA EN 35 AUTOS Y LA SEGUNDA EN 42 AUTOS.

A ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA PRIMERA GASOLINA DE UN RENDIMIENTO PROMEDIO MAYOR DE 0.45KM/L QUE LA SEGUNDA GASOLINA?

B ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA DIFERENCIA EN RENDIMIENTOS PROMEDIO SE ENCUENTRE ENTRE 0.65 Y 0.83KM/L A FAVOR DE LA GASOLINA 1?.

R: En este ejercicio no se cuenta con los parámetros de las medias en ninguna de las dos poblaciones, por lo que se supondrán que son iguales.

Datos:

1 = 1.23 Km/Lto

2 = 1.37 Km/Lto

n1 = 35 autos

n2 = 42 autos

a = ?

b

?

DISTRIBUCION MUESTRAL DE PROPORCIONES

Supongamos que tenemos una población infinita distribuida binominal menté, donde p y q = 1 - p son las probabilidades respectivas de que cualquier miembro dado de la población, presente o no cierta propiedad. Por ejemplo, la población puede constar de todos los posibles lanzamientos de una moneda legal, en donde la probabilidad del evento cara es p=1/2.

Considere todas las muestras posibles de tamaño n extraída de esta población y para cada muestra determine el estadístico proporcion P de éxitos. En el caso de una mondea, P puede ser la proporción de caras que se obtiene en n lanzamientos. Así se obtiene una distribución muestra de proporciones cuya medida Up y su

Desviación estándar Op son:

Las cuales pueden obtenerse de (4) y (5) utilizando

En el caso de valores grandes de n(n≧30), la distribución muestra tiende a una distribución normal, como se ve en el teorema1.5.

Para poblaciones finitas, cuando el muestreo se hace sin remplazo, la segunda ecuación se sustituye por o como se da en (6) por

EJEMPLOS

1.- UNA ENCUESTA DEL BOSTON COLLEGE CONSTÓ DE 320 TRABAJADORES DE MICHIGAN QUE FUERON DESPEDIDOS ENTRE 1979 Y 1984, ENCONTRÓ QUE 20% HABÍAN ESTADO SIN TRABAJO DURANTE POR LO MENOS DOS AÑOS. SUPÓNGASE QUE TUVIERA QUE SELECCIONAR OTRA MUESTRA ALEATORIA DE 320 TRABAJADORES DE ENTRE TODOS LOS EMPLEADOS DESPEDIDOS ENTRE 1979 Y 1984. ¿CUÁL SERÍA LA PROBABILIDAD DE QUE SU PORCENTAJE MUESTRAL DE TRABAJADORES SIN EMPLEO DURANTE POR LO MENOS DOS AÑOS, DIFIERA DEL PORCENTAJE OBTENIDO EN LA ENCUESTA DE BOSTON COLLEGE, EN 5% O MÁS?

R: En este ejercicio se cuenta únicamente con una población, de la cual se están extrayendo dos muestras y se quiere saber la probabilidad de la diferencia de los porcentajes en esas dos muestras, por lo que se debe de utilizar la distribución muestral de proporciones con P1= P2, ya que es una misma población.

Otra de las situaciones con la cual nos topamos es que desconocemos la proporción de trabajadores despedidos entre 1979 y 1984 que estuvieron desempleados por un período de por lo menos dos años, sólo se conoce la

p1= 0.20 ya que al tomar una muestra de 320 trabajadores se observó esa proporción.

En la fórmula de la distribución muestral de proporciones para el cálculo de probabilidad se necesita saber las proporciones de las poblaciones, las cuales en este ejercicio las desconocemos, por lo que se utilizará el valor de 0.20 como una estimación puntual de P. En el siguiente tema se abordará el tema de estimación estadística y se comprenderá el porque estamos utilizando de esa manera el dato.

También debe de comprenderse la pregunta que nos hace este problema, ¿cuál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 5% o más?, la palabra difiera quiere decir que puede existir una diferencia a favor de la muestra uno, o a favor de la muestra dos, por lo que se tendrán que calcular dos áreas en la distribución y al final sumarlas.

Datos:

p1 = 0.20

n1 = 320 trabajadores

n2 = 320 trabajadores

P1 = P2

La probabilidad de que su proporcion muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 0.05 o más es de 0.1260.

2.- LOS HOMBRES Y MUJERES ADULTOS RADICADOS EN UNA CIUDAD GRANDE DEL NORTE DIFIEREN EN SUS OPINIONES SOBRE LA PROMULGACIÓN DE LA PENA DE MUERTE PARA PERSONAS CULPABLES DE ASESINATO. SE CREE QUE EL 12% DE LOS HOMBRES ADULTOS ESTÁN A FAVOR DE LA PENA DE MUERTE, MIENTRAS QUE SÓLO 10% DE LAS MUJERES ADULTAS LO ESTÁN. SI SE PREGUNTA A DOS MUESTRAS ALEATORIAS DE 100 HOMBRES Y 100 MUJERES SU OPINIÓN SOBRE LA PROMULGACIÓN DE LA PENA DE MUERTE, DETERMINE LA PROBABILIDAD DE QUE EL PORCENTAJE DE HOMBRES A FAVOR SEA AL MENOS 3% MAYOR QUE EL DE LAS MUJERES.

R:

Datos:

PH = 0.12

PM = 0.10

nH = 100

nM = 100

p(pH-pM 0.03) = ?

Se recuerda que se está incluyendo el factor de corrección de 0.5 por ser una distribución binomial y se está utilizando la distribución normal.

Se concluye que la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor de la pena de muerte, al menos 3% mayor que el de mujeres es de 0.4562.

3.- SE SABE QUE 3 DE CADA 6 PRODUCTOS FABRICADOS POR LA MÁQUINA 1 SON DEFECTUOSOS Y QUE 2 DE CADA 5 OBJETOS FABRICADOS POR LA MÁQUINA 2 SON DEFECTUOSOS; SE TOMAN MUESTRAS DE 120 OBJETOS DE CADA MÁQUINA:

A ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA PROPORCIÓN DE ARTÍCULOS DEFECTUOSOS DE LA MÁQUINA 2 REBASE A LA MÁQUINA 1 EN POR LO MENOS

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