PROBABILIDAD

APÉNDICE: TÉCNICAS DE CONTEO

“La ciencia es la estética de la inteligencia”

Gastón Bachelard

“La ESTADÍSTICA es la estética de la naturaleza”

MOVE

Métodos de enumeración

Con la finalidad de especificar el total de resultados posibles de un espacio

muestral S de interés, especialmente en la construcción de funciones de

probabilidad de variable discreta, como la distribución binomial, expondremos

algunas técnicas de enumeración:

Principio de multiplicación

Si una operación se puede realizar a través de k fases sucesivas y cada fase

es realizable de ni maneras, entonces la operación global es realizable de

k n × n × n × ...× n 1 2 3 maneras.

Ejemplo 1. Considérense los distintos itinerarios entre Medellín, Cartagena y

San Andrés, utilizando como medios de transporte avión, barco, carro y tren;

¿de cuántas maneras se puede realizar el tour completo Medellín –

Cartagena – San Andrés según las rutas y medios que muestra el siguiente

diagrama?

2

El itinerario Medellín Cartagena se puede efectuar de tres maneras, el

itinerario Cartagena San Andrés se puede realizar de dos maneras y el tour

completo Medellín, Cartagena San Andrés de 2× 3 = 6 maneras.

Principio de adición.

Si una operación global se puede realizar a través de k fases excluyentes y

cada fase se puede realizar de ni maneras, entonces la operación global se

puede realizar de + + + + =

k

i

k i n n n ... n n 1 2 3 maneras.

Observe que: La sumatoria
es un operador que goza de las siguientes

propiedades:

a) 1

1

i 1

i
x = x

=

b)

= = =

= =

n

k 1

k

n

j 1

j

n

i 1

i x x x , el

subíndice es una variable muda.

c)

(k k k k) k n k o sea la suma de una constante, n veces

n

i 1

+ + + + =
=

=

...

d) Propiedad asociativa generalizada

= = = +

= +

2 k

i k 1

i

k

i 1

i

2k

i 1

i

x x x

e) Propiedad telescópica

( ) n o

n

1

ai − ai−1 = a − a

f) Propiedad de operador lineal

( + ) =
+

n

1

n

1

k

n

1

a xk b yk a xk b y a y b constantes.

Estas propiedades son importantes para la operación de variables aleatorias

discretas y valores esperados.

3

Ejemplo 2. Considérese el número de maneras para temperar en clima frío

en Pasto, Bogotá o Manizales, o en clima cálido en Barranquilla, Cartagena,

Tolú o Riohacha. ¿De cuántas maneras se puede temperar según el

diagrama siguiente?

Veamos:

Se puede temperar frío de 3 maneras y cálido de 4 maneras para un total de

3 + 4 = 7 maneras.

Principio de permutación.

Definimos el número de permutaciones de n objetos como el total de

maneras como se pueden ordenar o agrupar los n objetos el cual equivale a

1 × 2 × 3 × ... × n = n !, definido como factorial de n. Observe que se

cumple la fórmula de recurrencia n! = n (n −1)! y por consistencia con ella

cuando n=1 se define 1! = 0! = 1.

Ejemplo 3. Se tiene un equipaje conformado de

Pantalones: P, Camisas: C, Interiores: I, y Zapatos: Z.

¿De cuantas maneras se puede colocar en un armario de 4 compartimentos?

4

C1 C2 C3 C4

PC Ι Z CΙ Z Ι Z Z

...