Problemas resueltos.

Matematicas Especiales

Ejercicios Resueltos

Miguel Angel Uribe

1. Efectue la siguiente operacion:

􀀀1 + i

(2 􀀀 i)(􀀀3i)

) Primero se debe operar el denominador:

􀀀1 + i

(2 􀀀 i)(􀀀3i)

= 􀀀1 + i

􀀀3 􀀀 6i

Enseguida procedemos a hacer la division multiplicando arriba y abajo por el complejo conju-

gado del denominador:

􀀀1 + i

(2 􀀀 i)(􀀀3i)

= 􀀀1 + i

􀀀3 􀀀 6i

= 􀀀1 + i

􀀀3 􀀀 6i

􀀀3 + 6i

􀀀3 + 6i

=

(􀀀1 + i)(􀀀3 + 6i)

45

= 􀀀3 􀀀 9i

45

= 􀀀

1

15 􀀀

1

5i:

2. Calcule 

1

1 + 3i

􀀀

1

1 􀀀 3i

) Para resolver el ejercicio se debe llevar a cabo la resta de las fracciones:

1

1 + 3i

􀀀

1

1 􀀀 3i

=

1 􀀀 3i 􀀀 (1 + 3i)

(1 + 3i)(1 􀀀 3i)

= 􀀀

6i

10

= 􀀀

3i

5

Ahora si podemos encontrar el modulo de la fraccion como:

1

1 + 3i

􀀀

1

1 􀀀 3i

=

􀀀

3i

5

=

3i

5

= j3ij

j5j

=

3

5

3. Halle el modulo y el argumento del numero:

(

p

2 +

p

2i)2

) Para determinar el modulo o el argumento se debe representar el numero en la forma x+iy

por lo que es necesario desarrollar el cuadrado:

(

p

2 +

p

2i)2 = 2 + 4i 􀀀 2 = 4i

4i es un numero puramente imaginario, por lo tanto su modulo es simplemente 4 y el valor

principal del argumento es =2.

1

2 Ejercicios Resueltos Matematicas Especiales

4. Resuelva la ecuacion

zjzj = 2 + i (1)

) Si expresamos z = x + iy y se saca el modulo a ambos lados de la ecuacion se obtiene:

jzjzjj = j2 + ij

jzj2 =

p

4 + 1

x2 + y2 =

p

5 (2)

de donde se obtiene que z debe encontrarse en el plano complejo sobre el crculo centrado en

cero y de radio 51=4. Ahora, para determinar la direccion de z podemos encontrar la razon

entre la parte imaginaria y la parte real a ambos lados de la igualdad (1):

yjzj

xjzj

=

1

2

y

x

=

1

2

x = 2y (3)

la relacion (3) nos determina la direccion del complejo z. Reemplazando (3) en (2) obtenemos

para y:

4y2 + y2 =

p

5

5y2 =

p

5

y2 =

1

p

5

(4)

y = (5)􀀀1=4 (5)

reemplazando el resultado (5) en (3) se obtiene para x:

x = 2(5)􀀀1=4 (6)

Combinando

...