Propiedades De Matrices

Propiedades[editar]

Sean , donde es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria

• Asociatividad

Demostración. Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

• Conmutatividad

Demostración Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

• Existencia del elemento neutro aditivo

Existe tal que

Demostración Tómese tal que para cualquier (dónde este último es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier se sigue que ya que para cualquier , dado que las entradas están en un campo.

• Existencia del inverso aditivo

Existe tal que

a esta matriz se le denota por .

Demostración Dada tómese tal que . Entonces ; luego, por las propiedades de campo donde es el inverso aditivo de en el campo para cualquier .

En efecto, éstas propiedades dependen el conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son (los números reales) y (los números complejos).

Por como se definió la operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que se cumple intrínsecamente la propiedad de que es cerrado bajo adición. Con éstas propiedades se tiene que es un grupo abeliano.

En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea un anillo , la operación de adición de matrices continúa dotando de estructura degrupo abeliano a , ya que bajo un anillo se tiene que es un grupo abeliano. En el caso de que las entradas estén en un grupo , éste necesita ser un grupo abeliano para que la adición de matrices siga dotando de estructura de grupo abeliano a .

Producto por un escalar[editar]

Sean y . Se define la operación de producto por un escalar como una función tal que y donde en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual al producto .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea y

También es inmediato observar que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.

Propiedades[editar]

Sean y , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar

• Asociatividad

Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

• Distributividad respecto de la suma de matrices

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

• Distributividad respecto de la suma en el campo

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

• Producto por el neutro multiplicativo del campo

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

Por como se definió la operación de producto por escalares se dice que es cerrado bajo producto por escalares. Con éstas propiedades y las de la adición se tiene que es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.

En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un campo sino en un anillo entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es un anillo con uno, se dice que es un módulo sobre .

Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede demostrar inmediatamente que

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que para todo .

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que para todo debido a que para todo

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