Propiedades de las integrales definidas.d
Enviado por amilkaruiz • 23 de Junio de 2016 • Ensayos • 2.360 Palabras (10 Páginas) • 739 Visitas
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Indicé
- Introducción………………………………………………………………………..2
- La integral definida………………………………………………………………..3
- Propiedades de la integral definida……………………………………………..4
- Ejemplos resueltos………………………………………………………………10
- Conclusión………………………………………………………………………..12
- Bibliografías………………………………………………………………………13
Introducción
Desde niños en la primaria se nos comenzó a inculcar todas esas fórmulas para calcular áreas de figuras ya definidas por la ciencia, cada una de estas y sus características ya fueron previamente estudiadas por matemáticos y expertos en el tema, pero ¿Cómo saber las características de una figura que no tiene forma definida?
Hace ya muchos años, algunos personajes históricos de las matemáticas comenzaron a pensar en el cómo calcular áreas amorfas a partir de sus delimitaciones, el cálculo integral (cálculo de áreas) no tiene en sí un comienzo fijo, sino que ha ido evolucionando al paso de los años. Desde Aristóteles hasta Riemann cada uno de estos personajes encontró su forma de cada vez ir acercándose más al área correcta.
Con motivo de cierta curiosidad para saber el como la integración es una herramienta fundamental en la vida diaria de muchos ingenieros, en esta investigación se mostraran el número de propiedades que tiene la integración definida, así como sus demostraciones correspondientes.
Ya que dependiendo de la forma en la que se trabajara el área designada, se “transforma” o cambia la integral a tal manera de que se nos facilite su cálculo.
La integral definida
Se le conoce como integral de f(x) consiste en el área bajo la curva delimitada por los extremos de esta y sus proyecciones sobre uno de los ejes.
Entonces a la integral definida se define como: dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a, b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica f(x), el eje de las abscisas, y las líneas verticales x=a y x=b.
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Sea por [pic 7]:
- ∫ es el signo de integración.
- a límite inferior de la integración.
- b límite superior de la integración.
- f(x) es el integrando o función a integrar.
- dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Propiedades de la integral definida
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudaran a evaluarlas con más facilidad.
- Propiedad de la integral definida no.1: Si a > b, entonces:
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Ejemplo:
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9[pic 12]
- Propiedad de la integral definida no.2: Si f(a) existe, entonces:
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Ejemplo:
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- Propiedad de la integral definida no.3: Si k es una constante cualquiera, entonces:
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Ejemplos:
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- Propiedad de la integral definida no.4: Si la función f es integrable en [a, b] y, k es una constante arbitraria, entonces:
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Ejemplo:
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- Propiedad de la integral definida no.5: Si las funciones f y g son integrables en [a, b], entonces f ± g también es integrable en [a, b] y:
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Ejemplo:
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- Propiedad de la integral definida no.6: Si f es integrable es [a, b], [a, c] y [c, d], y a < c < b:
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- Propiedad de la integral definida no.7: Si f es integrable en un intervalo cerrado I y, (a, b, c) €I, entonces:
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- Propiedad de la integral definida no.8: Si f es integrable en [a, b] y f(x) ≥ 0 Ɐx €[a, b], entonces:
[pic 34]
- Propiedad de la integral definida no.9: Si las funciones f y g son integrables en [a, b] y f(x) ≥ g(x) Ɐx €[a, b], entonces:[pic 35]
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Ejemplos:
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Tracemos las gráficas, en el mismo plano, en el intervalo [-1,3] y comparémoslas:
Como bien se puede observar, [pic 38]
Además, tanto f como g son integrables en [-1,3]
Por lo tanto, de acuerdo con el teorema PID9:
[pic 39]
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