INTEGRALES DEFINIDAS

INTEGRAL DEFINIDA

INTRODUCCIÓN.

El concepto de integral definida surge íntimamente ligado al de área. Riemann introduce la integral definida de una función continua en un intervalo a partir del límite de una suma de áreas de rectángulos. Por ello, una de las aplicaciones más inmediatas de la integral definida es el cálculo de áreas de recintos planos acotados y definidos por curvas o gráficas de funciones.

El cálculo de áreas sencillas limitadas por curvas puede contribuir a ayudar y comprender la potencia del cálculo integral y a familiarizarse con aspectos prácticos del mismo. Ha de servir como introducción para otras aplicaciones de las integrales en los diferentes campos de la ciencia: Física, Biología, Ingeniería o Economía. En ellas, la integral definida permitirá medir magnitudes a través de la medida de áreas.

INTEGRAL DEFINIDAD:

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a, b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

Se representa por

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

PROPIEDADES DE LA INTEGRALES DEFINIDAS

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales•

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL

El teorema del valor medio para integrales o teorema de la media dice que:

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

Ejemplos

1. Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4, −1].

Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media.

La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.

2. ¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la siguiente función en el intervalo [0, 1]?

Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

La derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original.

Ejemplos

Calcular la derivada de las funciones:

CAMBIO DE VARIABLE DE UNA INTEGRAL DEFINIDA

Con un cambio de variable, re expresamos por completo la integral en términos de u y du (o de cualquier otra variable que nos convenga). El cambio de variable hace uso de la notación de Leibniz para la diferencial. Es decir, si u = g(x), entonces du = g’(x) dx, con lo que la integral adopta la forma.

Ejemplo 1.

Cambio de variable

Hallar

Solución: De nuevo tomamos u = 2x – 1, de donde dx = du / 2. Como el integrando contiene un factor x, hemos de expresar x en términos de u:

Expresar x en términos de u.

Sustituyendo, se obteniendo por fin

Para completar el cambio de variable en el Ejemplo 1, hemos tenido que despejar x en términos de u. Esta operación puede ser difícil en ocasiones. Afortunadamente no siempre es necesaria, como queda claro en el próximo ejemplo.

RESUMIMOS LOS PASOS SEGUIDOS EN LA INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN.

ESTRATEGIA PARA EL CAMBIO DE VARIABLE

1. Elegir una sustitución u = g(x). En general, conviene elegir la parte interna de alguna función compuesta, tal como una cantidad

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