Integrales Definidas

1.- FUNCIÓN PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA.

La integración es la operación inversa de la derivación.

Dada una función f(x), diremos que F(x) es una primitiva suya si F’(x)=f(x).

Nota: La primitiva de una función no es única; por ejemplo, si f(x)=3x2, entonces F1(x)=x3, F2(x)=x3+2,............etc, son primitivas de f(x).

Propiedad: Si F1(x) y F2(x) son primitivas de una misma función f(x), entonces se diferencian en una constante; o sea, F1(x)-F2(x)=cte.

Demostración:

Pues bien, acabamos de ver que si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entonces admite infinitas primitivas, cuyas expresiones serán F(x)+K, siendo K una constante arbitraria. Al conjunto de todas las primitivas de f(x), se le llama integral indefinida de f(x) y se le denota mediante

Por ejemplo: , siendo K una constante arbitraria.

Si existe la integral indefinida de una función, se dice que ésta es integrable.

2.- PROPIEDADES DE LA INTEGRACIÓN.

Las dos propiedades más importantes de la integración son las siguientes:

1) La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las integrales de dichas funciones. O sea,

Demostración: Por un lado .

Por otro lado, csqd.

Igual se demuestra con la diferencia.

2) La integral del producto de un número por una función es igual al producto del número por la integral de dicha función. O sea,

Demostración: Análoga a la anterior.

La utilización de estas dos propiedades constituye el llamado método de descomposición en el que como principio conviene descomponer el integrando lo más posible, aplicando las propiedades anteriores; a veces, conviene hacer un hábil manejo de constantes, sumar y restar una misma cantidad ó multiplicar y dividir por un mismo número.

Ejemplo:

3.- CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS.

TIPOS FORMAS

Simples Compuestas

1. Potencial (n-1)

2. Logarítmico

3. Exponencial

4. Seno

5. Coseno

6. Tangente

7. Cotangente

8. Secante

9. Cosecante

10. Arco seno

11. Arco tangente

12. Arco secante

Aunque no son inmediatas, hay algunas que aparecen con mucha frecuencia y conviene saber.

Son las siguientes:

Ejemplos:

1)

2)

3)

4.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE.

Este método es una consecuencia de la derivación de funciones compuestas. Como su nombre indica, se trata de sustituir la variable x por otra variable t mediante una nueva función g tal que x=g(t), para transformar el integrando f(x)dx en otro más sencillo.

De esta manera, dx=g’(t)dt, con lo que quedaría que .

En la práctica se suele hacer de la siguiente manera:

Se hace t=u(t), de donde dt=u’(x)dx y se despejan a continuación x y dx, sustituyéndolos en el integrando.

Si el cambio de variable ha sido bien elegido, la última expresión será más fácil de integrar que la primera. Una vez calculada ésta, se deshace el cambio y tendremos así la integral pedida.

¿Cuándo es aconsejable utilizar este método?

a) Cuando aparezca en el integrando un producto o un cociente de funciones de modo que una de ellas “recuerda” a la derivada de la otra.

Ejemplo:

Hacemos el cambio x2+4x=t y nos quedaría (2x+4)dx=dt. Entonces

b) Cuando el integrando guarda cierto parecido con una integral inmediata.

Ejemplo:

...