RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES

1. RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES

Las ecuaciones no lineales aparecen en muchos  problemas físicos. Encontrar sus raíces o ceros es un problema común. El problema puede ser planteado de la siguiente manera:

Dada la función no lineal y continua [pic 1], hallar el valor [pic 2] talque [pic 3], donde [pic 4] es un cero o raíz de la ecuación no lineal (Figura 3).

La función [pic 5] puede ser una función algebraica, una función trascendente, la solución de una ecuación diferencial o cualquier relación no lineal entre la variable independiente [pic 6] y la variable dependiente [pic 7]. 

[pic 8]

Figura 3

Las ecuaciones no lineales son resueltas por métodos iterativos, es decir, mediante una secuencia finita de pasos repetitivos prefijada por el tipo de método elegido como veremos en lo que sigue. En todos los casos se necesita una primera aproximación o estimación de la raíz a partir de la cual mediante el método iterativo seleccionado se refina la solución. Para determinar la primera aproximación resulta apropiado el método gráfico.

1.1 Método grafico para estimar la raíz de una ecuación

El método consiste en expresar la función [pic 9] en la forma [pic 10]. Luego, dibujar cada una de las funciones [pic 11] y [pic 12] en un mismo sistema de coordenadas y tomar como primera aproximación a la raíz el valor de [pic 13]que corresponde al punto de intersección de las gráficas de las funciones [pic 14] y [pic 15].

Ejemplo 1

Estimar una raíz de la ecuación no lineal [pic 16].

Solución

En este caso [pic 17]. De la ecuación [pic 18], se tiene que [pic 19], de donde [pic 20] y  [pic 21].  Graficando en un mismo sistema de coordenadas (Figura 4)

[pic 22]

Figura 4

Se puede observar que un valor estimado para la raíz de la ecuación [pic 23] es 0.55.

Ejemplo 2

Estimar una raíz de la ecuación no lineal [pic 24]-

Solución

Aquí [pic 25]. De [pic 26] se tiene que [pic 27], de donde [pic 28] y [pic 29]. De la gráfica (Figura 5) se puede estimar un valor para la raíz de la ecuación, igual a 1.31.

[pic 30]

Figura 5

1.2 Método iterativo de Bisección de Bolzano

En este método, usando el método grafico se debe estimar un intervalo de longitud pequeña que contenga con seguridad a la raíz de la ecuación [pic 31]. Si [pic 32] es el intervalo que contiene a la raíz talque [pic 33] y [pic 34],  (o también [pic 35] y [pic 36]) el algoritmo está dado por,

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