SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
Enviado por Alejandro Couoh • 5 de Septiembre de 2016 • Prácticas o problemas • 1.085 Palabras (5 Páginas) • 318 Visitas
MATEMÁTICA SUPERIOR APLICADA
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
[pic 1]
Ejemplos de Resolución de SEAL mediante Métodos Iterativos
Método de Jacobi
Resolver el siguiente sistema:
4 x1 − x2 = 2
−x1 + 4 x2 − x3 = 6
− x2 + 4 x3 = 2
Despejando x1de la primera ecuación, x2 de la segunda y x3 de la tercera, se tiene:
x1 = 0.50 + 0.25x2
x2 = 1.50 + 0.25x1 + 0.25x3
x3 = 0.50 + 0.25x2
(1)
(2)
O sea,
x(k +1) = 0.50 + 0.25x(k )
1 2
x(k +1) = 1.50 + 0.25x(k ) + 0.25x(k )
2 1 3
x(k +1) = 0.50 + 0.25x(k )
3 2
(3)
⎡0⎤
Considérese como aproximación inicial al vector: x(0) = ⎢0⎥ , esto es:
⎢ ⎥
⎢⎣0⎥⎦
(0) (0) (0)
x1 = 0 ; x2 = 0 ; x3 = 0
Este primer valor de solución puede tener cualquier valor, y entre más cercano a sea al valor supuesto con respecto al valor final, la convergencia será más rápida.
En general no se conocen los signos de los resultados y por esta razón se escoge el vector inicial supuesto igual a cero. Sustituyendo en el Sistema (3), haciendo k=0, se obtiene:
x(1) = 0.50 + 0.25 (0) = 0.50
1
⎛ 0.50 ⎞
x(1) = 1.50 + 0.25 (0) + 0.25 (0) = 1.50 ; x(1)= ⎜ 1.50 ⎟
2
x(1) = 0.50 + 0.25 (0) = 0.50
3
⎜ ⎟
⎜ 0.50 ⎟
⎝ ⎠
Siguiendo en igual forma las iteraciones, resulta:
x(2) = 0.50 + 0.25 (1.50) = 0.875
1
⎛ 0.875 ⎞
x(2) = 1.50 + 0.25 (0.50) + 0.25 (0.50) = 1.750 ; x(2)= ⎜ 1.750 ⎟
2
x(2) = 0.50 + 0.25 (1.50) = 0.875
3
Siguiendo de igual forma las iteraciones, resulta:
⎜ ⎟
⎜ 0.875 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 0.938 ⎞ ⎛ 0.985 ⎞ ⎛ 0.995 ⎞
x(3)= ⎜ 1.940 ⎟
; x(4)= ⎜ 1.970 ⎟
...