SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

MATEMÁTICA SUPERIOR APLICADA

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

[pic 1]

Ejemplos de Resolución de SEAL mediante Métodos Iterativos

Método de Jacobi

Resolver el siguiente sistema:

4 x1   − x2        = 2

−x1 + 4 x2 − x3  = 6

− x2 + 4 x3  = 2

Despejando x1de la primera ecuación, x2 de la segunda y x3 de la tercera, se tiene:

x1  = 0.50 + 0.25x2

x2  = 1.50 + 0.25x1 + 0.25x3

x3  = 0.50 + 0.25x2

(1)

(2)

O sea,

x(k +1) = 0.50 + 0.25x(k )

1        2

x(k +1) = 1.50 + 0.25x(k ) + 0.25x(k ) 

2        1        3

x(k +1) = 0.50 + 0.25x(k )

3        2

(3)

⎡0⎤

Considérese como aproximación inicial al vector: x(0) = ⎢0⎥ , esto es:

⎢  ⎥

⎢⎣0⎥⎦

(0)        (0)        (0)

x1        = 0  ;  x2     = 0  ;  x3     = 0

Este primer valor de solución puede tener cualquier valor, y entre más cercano a sea al valor supuesto con respecto al valor final, la convergencia será más rápida.

En general no se conocen los signos de los resultados y por esta razón se escoge el vector inicial supuesto igual a cero. Sustituyendo en el Sistema (3), haciendo k=0, se obtiene:

x(1) = 0.50 + 0.25 (0) = 0.50

1

⎛ 0.50 ⎞

x(1) = 1.50 + 0.25 (0) + 0.25 (0) = 1.50 ; x(1)= ⎜ 1.50 ⎟

2

x(1) = 0.50 + 0.25 (0) = 0.50

3

⎜        ⎟

⎜ 0.50 ⎟

⎝        ⎠

Siguiendo en igual forma las iteraciones, resulta:

x(2) = 0.50 + 0.25 (1.50) = 0.875

1

⎛ 0.875 ⎞

x(2) = 1.50 + 0.25 (0.50) + 0.25 (0.50) = 1.750 ; x(2)= ⎜ 1.750 ⎟

2

x(2) = 0.50 + 0.25 (1.50) = 0.875

3

Siguiendo de igual forma las iteraciones, resulta:

⎜        ⎟

⎜ 0.875 ⎟

⎝        ⎠

⎛ 0.938 ⎞        ⎛ 0.985 ⎞        ⎛ 0.995 ⎞

x(3)= ⎜ 1.940 ⎟

;  x(4)= ⎜ 1.970 ⎟

;  x(5)= ⎜ 1.990 ⎟

⎜        ⎟        ⎜        ⎟        ⎜        ⎟

⎜ 0.938  ⎟        ⎜ 0.985  ⎟        ⎜ 0.995 ⎟

⎝        ⎠        ⎝        ⎠        ⎝        ⎠

⎛ 0.998  ⎞        ⎛ 1.000  ⎞        ⎛ 1.000 ⎞

x(6 )= ⎜ 2.000 ⎟

;  x(7 )= ⎜ 2.000 ⎟

;  x(8)= ⎜ 2.000 ⎟

y la solución del sistema es:

⎜        ⎟        ⎜        ⎟        ⎜        ⎟

⎜ 0.998  ⎟        ⎜ 1.000  ⎟        ⎜ 1.000 ⎟

⎝        ⎠        ⎝        ⎠        ⎝        ⎠

x1  = 1  ;  x2  = 2  ;  x3  = 1

El método de Jacobi presentado se usa muy poco en la práctica. Esto se debe a que el método iterativo que se establecerá a continuación siempre converge cuando el de Jacobi no lo hace, y en general converge más rápidamente que el método de Jacobi.

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