Raíces de ecuaciones no lineales

RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES

Una raíz de una función es un número tal que . También se dice que es una raíz de la ecuación . En este curso, consideraremos solamente raíces reales.

Geométricamente, una raíz de una función representa un punto donde la gráfica de cruza al eje ,

En esta gráfica, vemos que la raíz es .

Ejemplos.

1. Las raíces de son y .

1. 2. La función no tiene raíces.

2. 3. La función no tiene raíces.

3. 4. Las raíces de son y .

Estudiaremos varios métodos numéricos para aproximar raíces de ecuaciones.

MÉTODO GRÁFICO

Este método básicamente se usa para localizar un intervalo donde la función tiene alguna raíz.

Ejemplo 1

Localizar un intervalo donde la función tenga una raíz.

Solución

Para calcular la raíz de hacemos , de donde . Por lo tanto, el problema equivale a encontrar el punto de intersección de las funciones y .

Conocemos bien estas gráficas:

De lo cual, concluímos que un intervalo donde se encuentra la única raíz es . En realidad, no nos interesa ser más finos en la búsqueda del intervalo, ya que posteriormente aplicaremos métodos más sistemáticos para aproximar mejor la raíz. Digamos que la utilidad del método gráfico radica en proveernos de un intervalo con el cual comencemos a trabajar.<![endif]>

Ejemplo 2

Localizar un intervalo donde la función tenga una raíz.

Solución

Nuevamente, para calcular la raíz de hacemos , de donde tenemos . Así, el problema equivale a encontrar el punto de intersección de las gráficas de las funciones y .

Conocemos bien las gráficas de estas funciones:

De donde vemos claramente que un intervalo donde se encuentra la única raíz es el intervalo .

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:

Teorema del Valor Intermedio

Sea contínua en un intervalo y supongamos que . Entonces para cada tal que , existe un tal que . La misma conclusión se obtiene para el caso que .

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función contínua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

En particular, si y tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir tal que , es decir, debe haber por lo menos una raíz de en el intervalo .

El método de bisección sigue los siguientes pasos:

Sea contínua,

i) i) Encontrar valores iniciales , tales que y tienen signos opuestos, es decir,

ii) ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre y :

iii) iii) Evaluar . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

•

En este caso, tenemos que y tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo .

•

En este caso, tenemos que y tienen el mismo signo, y de aquí que y tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo .

•

En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

es decir,

Ejemplo 1

Aproximar la raíz de hasta que .

Solución

Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de se localiza en el intervalo . Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar que y tengan signos opuestos.

En efecto, tenemos que

mientras que

Cabe mencionar que la función sí es contínua en el intervalo . Así pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos:

i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz):

ii) Evaluamos

iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo .

Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):

Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos , y hacemos la tabla:

Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .

Calculamos el punto medio,

Y calculamos el nuevo error aproximado:

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.

1.25

1.375 9.09%

1.3125 4.76%

1.28125 2.43%

1.296875 1.20%

1.3046875 0.59%

Así, obtenemos como aproximación a la raíz

Ejemplo 2

Aproximar la raíz de hasta que .

Solución

Como vimos en el ejemplo 2 de la sección anterior, la única raíz de se localiza en el intervalo . Para poder aplicar el método de bisección, es importante checar que sí se cumplen las hipótesis requeridas.

Sabemos que es contínua en el intervalo , y checamos que y tengan signos opuestos.

En efecto,

Mientras que,

Por lo tanto, sí podemos aplicar el método de bisección.

Calculamos el punto medio del intervalo ,

Que es la primera aproximación a la raíz de .

Evaluamos .

Y hacemos nuestra tabla de signos,

Puesto que y tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en el intervalo .

En este punto, solo contamos con una aproximación, a saber, , que es el primer punto medio calculado.

Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio ahora del intervalo ,

Que es la nueva aproximación a la raíz de .

Aquí podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos .

Y hacemos la tabla de signos:

Puesto que y tienen signos opuestos, entonces la raíz se localiza en el intervalo .

Calculamos el punto medio,

Y el nuevo error aproximado:

El proceso se debe continuar hasta que se logre el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.

0.5

0.75 33.33%

0.625 20%

0.5625 11.11%

0.53125 5.88%

0.515625 3.03%

0.5234375 1.49%

0.51953125 0.75%

De lo cual, vemos que la aproximación buscada es

El método de bisección por lo general es lento, y en casos como el de la siguiente gráfica, puede ser demasiado lento.

En un caso como éste, el proceso de bisección comienza a acercarse a la raíz de forma muy lenta, ya que el método solamente toma en cuenta que la raíz se encuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra más cerca de alguno de los extremos del intervalo. Sería bueno implementar un método que tome en cuenta este detalle.

Esto da lugar al siguiente método de aproximación de raíces.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA

Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

Consideremos nuevamente una gráfica como la anterior,

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo .

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.

Supongamos que tenemos una función que es contínua en el intervalo y además, y tienen signos opuestos.

Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos , . Sabemos que la pendiente

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