REACTIVOS SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICAS
Fernando ParralesPráctica o problema25 de Abril de 2019
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REACTIVOS SEGUNDO PARCIAL MATEMÁTICAS
- La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 181. ¿cuáles son dichos números?
- N1 = 10, N2 = 8
- N1 = 9, N2 = 10
- N1 = 8, N2 = 9
- N1 = 10, N2 = 11
Fundamentación: Planteamiento de problemas usando ecuaciones cuadráticas.
Plantear el problema:
La suma del cuadrado de dos números consecutivos es 181: X² + (X + 1)² = 181
Resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas:
X² + (X + 1)² = 181 (Resolver el producto notable)
X² + X² + 2X+ 1 = 181 (sumar términos semejantes e igualar a cero)
2X² + 2X – 180 = 0 (factorizar polinomio: trinomio de la forma x² + bx + c)
(X + 10)(X – 9 ) = 0 (Hallar los posibles valores de X)
X1 = -10 V X2 = 9
De ambas respuestas el -10 no es un número natural, por lo que el único valor es X2= 9.
Los números consecutivos son N1=10 y N2=9.
Tema en syllabus: Planteamiento de problemas. Unidad 45
Tema de libro: Fundamentos de matemáticas para bachillerato, ESPOL, Segunda edición. Unidad 2: Ecuaciones cuadráticas; pág. 172.
Tiempo de resolución: 5 minutos.
- Dado el siguiente predicado p(x): x(x – 5) – 2x(x + 3) + 6 ≤ x² – 11x, determine Ap(x):
- ( ¯∞, – ] U [ , +∞)[pic 1][pic 2]
- ( ¯∞, – ) U ( , +∞)[pic 3][pic 4]
- [–, ][pic 5][pic 6]
- (–, )[pic 7][pic 8]
Fundamentación: Inecuaciones Cuadráticas.
Hallar los intervalos de X para los que se satisface la inecuación cuadrática:
X(X – 5) – 2X(X + 3) + 6 ≤ X² – 11X (destruir paréntesis)
X² - 5X – 2X² - 6X + 6 ≤ X² – 11X (restar el factor X² – 11X en ambos lados de la inecuación)
X² - 5X – 2X² - 6X + 6 - X² + 11X ≤ X² – 11X - X² + 11X (reducir términos semejantes)
– 2X² + 6 ≤ 0 (factorizar el polinomio dependiendo el caso: no se puede factorizar)
– 2X² + 6 ≤ 0 (hallar los puntos críticos)
X = V X = - (evaluar en la recta numérica)[pic 9][pic 10]
Al evaluar en la recta numérica:
– 2X² + 6 ≤ 0 – 2X² + 6 ≤ 0 – 2X² + 6 ≤ 0
[– 2 (-2)²] + 6 ≤ 0 [– 2 (0)²] + 6 ≤ 0 [– 2 (2)²] + 6 ≤ 0
– 8 + 6 ≤ 0 0 + 6 ≤ 0 - 8 + 6 ≤ 0
– 2 ≤ 0 (SI) 6 ≤ 0 (NO) – 2 ≤ 0 (SI)
–∞ ////////////////////// ][ ][ //////////////////// +∞[pic 11]
- + [pic 12][pic 13]
El intervalo de solución Ap(x): ( ¯∞, – ] U [ , +∞)[pic 14][pic 15]
Tema en syllabus: Inecuaciones Cuadráticas. Unidad 5.
Tema de libro: Fundamentos de matemáticas para bachillerato, ESPOL, Segunda edición. Unidad 2: Inecuaciones cuadráticas.
Tiempo de resolución: 5 minutos.
- Si el determinante de una matriz A es 16. Entonces es falso que:
- La matriz A tiene inversa
- La matriz A es una matriz cuadrada
- La matriz A tiene dos filas iguales
- Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces el det (AB)=32
Fundamentación del problema: Teoría de matrices, en base a la teoría de matrices y propiedades de los determinantes se analiza cada una de las proposiciones:
- La matriz A tiene inversa VERDADERO
Si el determinante de una matriz es diferente de 0, la matriz es inversible
- La matriz A es una matriz cuadrada VERDADERO
El cálculo del determinante se define bajo matrices que son cuadradas, dado que el determinante existe la matriz A es una matriz cuadrada
- La matriz A tiene dos filas iguales FALSO
Si en la matriz existes dos filas (o dos columnas) iguales, el determinante de la matriz es 0
- Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces el det(AB)=32 VERDADERO
det(AB)= det(A)det(B), entonces si det(B)=2 se cumple que det(AB)=16*2=32
- Sean A, B y C matrices tales que, A= , B=, C=. Entonces es verdad que:
[pic 16][pic 17][pic 18]
a)[pic 19]
b)det AT= det C
c) det B= det CT
d)A no tiene inversa o B si tiene inversa
Fundamentación del problema: Teoría de matrices, en base a la teoría de matrices y propiedades de los determinantes se analiza cada una de las proposiciones:
Se calculan los determinantes de cada una de las matrices, se elegirá siempre la fila o columna con mayor cantidad de 0, de tal forma que:
det A= -0 (2-10)+1(1-15)+1(2-6)= -14-4=-18
det B= 5(2-0)=10
det C= -3(0-2)=6
Se evalúan cada una de las alternativas:
a)[pic 20]
FALSO[pic 21]
b)det AT= det C
Por propiedades de los determinantes det AT= det A, entonces:
det AT= det C es igual det A= det C
-18 FALSO[pic 22]
c) det B= det CT
Por propiedades de los determinantes det CT= det C, entonces:
det B= det CT es igual det B= det C
10 FALSO[pic 23]
d)A no tiene inversa o B si tiene inversa
Tanto matriz A como la matriz B poseen inversa por lo tanto, aplicando la tabla de verdad de la disjunción:
0 VERDADERO[pic 24]
Tema en syllabus: Matrices y determinantes. Unidad 6.
Tema de libro: Fundamentos de matemáticas para bachillerato, ESPOL, Segunda edición. Unidad 5: Matrices y determinantes.
Tiempo de resolución: 5 minutos.
- Sean las matrices Entonces los valores de para que A=B son respectivamente:[pic 25][pic 26]
- 1 y 1
- b) -1 y 1
- c) 1 y -1
- d) -1 y -1
Fundamentación del problema: Sistema de ecuaciones lineales. Se define la matriz aumentada y mediante operaciones algebraicas entre filas se busca llegar a una matriz diagonal o diagonal superior:
Procedimiento:
Se realiza la operación de suma entre matrices y se las iguala para compararlas
[pic 27]
[pic 28]
A=B
[pic 29]
Entonces:
[pic 30]
[pic 31]
Reduciendo términos semejantes:
[pic 32]
[pic 33]
Se arma la matriz aumentada:
[pic 34]
Se multiplica la fila 1 por 1/3 y la fila 2 por ½
[pic 35]
Se suma la fila 1 con la fila 2:
[pic 36]
Se evidencia que , y evaluando en las ecuaciones iniciales: [pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
Tema en syllabus: Sistema de ecuaciones lineales. Unidad 6.
Tema de libro: Fundamentos de matemáticas para bachillerato, ESPOL, Segunda edición. Unidad 5: Matrices y determinantes.
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