Números complejos

    Números complejos

                           [pic 1]        

                      a = Parte real                    b = Parte imaginaria

                                    i = unidad imaginaria ()  [pic 2]

                        sea z un complejo se puede escribir como:[pic 3]

                     Par ordenado                     z =  (a,b)[pic 4]

                     binominal                           z  =  a + bi[pic 5]

[pic 6]

                                                                                 [pic 7]

                                                                  b = 0

                                                                                  a + 0i = a

                                                        [pic 8]

                  a = 0[pic 9]

                  0 + 2i = 2i

[pic 10]

Representación de números complejos

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

   Operaciones con números complejos

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y                                                                                                    restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí.

[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

         forma polar  y   trigonométrica

                         de un complejo[pic 28]

 [pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32][pic 33][pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

Expresión de un número complejo en forma polar

z = rα

z| = r             (r es el módulo)[pic 38][pic 39]

       arg(z) = α              (α es el argumento)[pic 40]

Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:

z = 2120º                                                           [pic 41]

[pic 42] 

Potencia de un numero complejo

Ejemplo

                                            [pic 44][pic 43]

[pic 45]

                                                      [pic 46]

                                                      [pic 47]

                                                      [pic 48]

                                      [pic 50][pic 49]

                                      [pic 51]

                                                          [pic 53][pic 54][pic 52]

[pic 55]

   [pic 56]

[pic 57]

  [pic 58][pic 59]

[pic 60]

Conjugado de un número complejo

el número complejo a + bi  , se  tiene que su conjugado es a - bi .

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:

[pic 61]

[pic 62]

1. El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Ej:

En efecto si z = a + bi

se tiene que [pic 63] = a - bi , de donde, [pic 64] = a + bi  = z

1. Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Esto se expresa escribiendo que [pic 65]

Ej:

Tomando z = a + bi  y z' = c + di , se tiene:

[pic 66]= a + bi  y [pic 67]' = c - di , con lo que

[pic 68]+ [pic 69]' = (a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i

Por otra parte               [pic 70]

es fácil ver que esta expresión coincide con la anterior.

1. El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números.

[pic 71]

Ej:

Si z = a + bi  y z = c + di

se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i ,

cuyo conjugado es [pic 72] = (ac - bd) - (ad + bc)i .

Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que

[pic 73]· [pic 74]'  = (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .

El resultado es igual al anterior.

1. Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

Ej:

Sea un complejo a + bi  que coincida con su conjugado.

...