Números complejos

1. Tema: Números Complejos
2. Objetivos:

• Adquirir el concepto de número complejo y aprender a operar con ellos.
• Aprender las propiedades de los números complejos
• Adquirir destreza en el manejo y resolución de las operaciones con los números complejos
• Sumar y restar complejos en forma binómica
• Multiplicar y dividir complejos en forma binómica.
• Expresar un complejo en forma polar
• Pasar de forma binómica a forma polar y viceversa
• Conocer la fórmula de Moivre

1. Definición:  

Se llama número complejo a todo par (a, b) de números  tomados en cierto orden  conformando un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario.  [pic 1]

Un número imaginario es aquel cuyo cuadrado es negativo  y se otorgo a        el nombre de i.

Los números  a, b se llaman componentes del numero complejo. “a”, que se escribe primero es un numero real (primer componente); y “b”, es un numero imaginario (segundo componente).

1. Clases de Números Complejos:

• Complejos Puros: Es aquel cuya parte real es nula, en donde     a = 0

[pic 2]

• Complejo Real: Es aquel cuya parte imaginaria es nula, en donde b= 0

[pic 3]

• Complejos Iguales:  Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e iguales sus partes imaginarias

[pic 4]

• Complejo Nulo: Es aquel cuya parte real y cuya parte imaginaria son nulas

[pic 5]

• Complejos Conjugados:  Son aquellos que tiene iguales sus partes reales, y de signo contrario  sus partes imaginarias se denota por: [pic 6]

[pic 7]

• Complejos Opuestos: Son aquellos que tienen iguales las partes reales e iguales partes imaginarias pero de signo contrario. También se lo conoce como el negativo de un número complejo.

[pic 8]

1. Potencias de un número complejo:[pic 9]

[pic 10]

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

1. Representación  de Números Complejos:

• Representación en forma binómica:

    Al número a + bi le l lamamos número complejo en forma binómica.

• Representación Grafica :

Para representar a los números complejos dados en la forma binómica, tomaremos unos ejes de coordenadas en el plano. La parte real se representará en el eje de abcisas y la parte imaginaria en el de ordenadas.

           Representemos los afijos de los complejos: 2+4i; 3i, -3+i, -4

[pic 11]

        Donde su modulo seria:[pic 12]

• Argumento o ángulo de inclinación del vector “Z”(imaginario)

Utilizamos la fórmula del arco tangente para obtener el argumento del vector de esta manera:

[pic 13]

[pic 14]

• Representación Polar o Trigonométrica:

[pic 15][pic 16]

        [pic 17]

• Transformación de la forma binómica  a la forma polar

[pic 18]

• Transformación de la forma polar a la forma rectangular

Conocido el complejo en la forma, para pasarlo a a+bi, se tendrá recordando la trigonometría que:

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

1. OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

• Suma y Resta:

[pic 23]

Ejemplo:

[pic 24]

• Multiplication

La multiplicación de dos complejos a+bi y c+di se realiza como si se tratase de polinomios teniendo en cuenta que i2 = -1 y separando en el resultado las partes real e imaginaria. En general:

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