Sumatoria De Reiman

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.

La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:

Expresión que se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores desde 1 hasta n".

(I) es el valor inicial, llamado límite inferior.

(N) es el valor final, llamado límite superior.

Pero necesariamente debe cumplirse que:

i ≤ n

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:

Ahora, veamos un ejemplo:

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

1) Cuando el límite inferior sea un entero mayor que 1, la cantidad de términos (sumandos) de una sumatoria se obtiene haciendo: límite superior (n) menos límite inferior (a) más la unidad (1):

Ejemplo:

Hallar la cantidad de términos de la siguiente expresión:

2) La sumatoria de una constante (k) es igual al producto (la multiplicación) entre dicha constante (k) y la cantidad de sumandos (términos) :

Ejemplo:

Hallar la sumatoria de la expresión:

3) La suma del producto de una constante (k) por una variable (x), es igual a k veces la sumatoria de la variable.

Ejemplos:

Hallar la sumatoria de la expresión:

Hallar la sumatoria de la expresión:

Bernhard Riemann

Aunque sus trabajos -publicados por H. Weber y R. Dedekind- fueron pocos, en conjunto constituyen la génesis de muchas de las ideas matemáticas que perduran hoy en día. Riemann trabajó en casi todos los campos de las matemáticas: fue un verdadero revolucionario de la geometría diferencial y del espacio n-dimensional, sobre todo en el caso particular las tres dimensiones. En una de sus primeras memorias, publicada en el Jornal de Crelle en 1855, Riemann expuso sus investigaciones sobre las funciones oblicuas. Riemann sentó las bases para los métodos topológicos y sus ideas sobre la geometría contribuyeron al desarrollo de las geometrías no euclidiana. Además, en sus estudios se encuentran anticipaciones de la teoría de la relatividad. En cuanto a la física matemática, destaca su trabajo acerca de las ondas sonoras en 1860 (véase onda).

La Disertación inaugural de Riemann (1854) constituye un clásico en las matemáticas. En esta obra recuperó la cuestión de las geometrías no euclidianas al demostrar por medios analíticos que el problema de la geometría basada enpostulados de Euclides (véase Geometría) estaba vinculado a la curvatura del espacio en el que uno se sitúa. Sobre una esfera, por ejemplo, el camino más corto desde un punto a otro es un arco de círculo máximo. Por consiguiente, un círculo máximo es el equivalente de una recta para una superficie así, y sabemos que dos círculos máximos cualesquiera tienen siempre dos puntos en común; por tanto, desde un punto tomado fuera de alguno de ellos no se puede trazar un círculo máximo que le sea paralelo, con lo que el postulado del paralelismo no es válido. Esto, sin embargo, no ocurre cuando el espacio no tiene curvatura y hablamos de rectas. Beltrami (1835-1900) establecería una relación entre los trabajos de Riemann, Lobachevski y Bolyai.

En el cálculo integral, se le debe a Riemann el concepto de integral definida

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