Sumatorias

SUMATORIAS

EL símbolo es una representación concisa de la suma de términos es decir:

Esto se llama notación de la suma y se lee “la suma de términos de la forma desde k=1 hasta n términos”. El termino k se conoce como el índice de la suma, y toma todos los valores desde 1 hasta n. Al símbolo se le llama sigma y es una letra griega equivalente a la S nuestra.

Ejemplos:

Observación: el índice de la sumatoria es arbitrario, pero las letras utilizadas más usualmente son la k, la i y la j.

En algunas ocasiones de la sumatoria se tienen claro los términos pero no el término general por lo que se hace necesario encontrarlo para poder expresar la suma como una sumatoria.

Esta sumatoria podría quedar expresada como sumatoria si se tiene claro cuál es la expresión que representa a todos los valores de la misma, es decir el término general.

En este caso en particular seria luego se tiene la sumatoria

Propiedades de las sumatorias

1)

2)

3)

4) (propiedad telescópica)

5)

6)

7)

Ejemplos:

Calcular la suma de términos

1)

2)

3) Calcular la suma de los términos

En este caso se observa que los términos van de 4 en 4 por lo que son de la forma 4k + o - algo. (recordemos que los múltiplos de 4 como 4, 8, 12, 16, 20… son de la forma 4k de manera exacta por lo que esta suma de términos solo debe estar desplazada en una cantidad entera). Como comienza en 5 debe ser de la forma (4k + 1)

Todos los términos de esta sumatoria tienen la forma escrita anteriormente incluido el ultimo termino, es decir en algún momento

Luego se tiene la sumatoria

4) Calcular la suma de los términos

Se tiene que los primeros elementos de cada termino van de 4 en 4, luego son de la forma desplazada de los múltiplos de 4. Los segundos elementos de cada uno de los términos van de 6 en 6 luego son de la forma desplazada de los múltiplos de 6.

Como el primer elemento del primer tipo de factores de cada termino es 3 quiere decir que su forma general es (4k - 1), y el primer elemento del segundo tipo de factores de cada termino es 3 quiere decir que su forma general es (6k - 3).

Por otro lado la forma 4k -1 es para cualquier primer factor de cada termino en particular también para el ultimo por lo que:

Si se hubiese elegido la forma 6k – 3 quedaría la igualdad

Es decir de cualquier forma la cantidad de términos es 50.

Luego la forma de la sumatoria es:

5) Calcular la suma de términos

En este caso se tiene que el primer factor de cada término va de 7 en 7, luego es alguna expresión desplazada de los múltiplos de 7. Como comienza en 1 debe ser de la forma (7k – 6). Hasta en el último término hay uno de esa forma que vale 78. Luego se cumple que:

El segundo factor no tiene una diferencia constante por lo que no debe ser un factor lineal. Debe ser, entonces, un factor cuadrático o uno cubico. Por la forma en que crecen los términos debe ser un factor cuadrático. Si seguimos la lógica

Notamos un desplazamiento de un lugar, además de una resta de 2 unidades en cada caso, luego este factor cuadrático debe tener la forma (k + 1)2 – 2 = k2 + 2k + 1 – 2 = k2 + 2k – 1

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