TAREA DE CALCULO

 1. La integral definida

Considere a una función de variable real f definida en un intervalo [a, b]. El objetivo en mente es calcular, si es posible, el área de la región limitada por la función y el eje x en el intervalo [a, b].

1.1. Nociones de la Integral de Riemann

Una partición uniforme Pn, (n ≥ 1), del intervalo [a, b] es una sucesión de n +1 puntos x0,x1,...,xn de la forma

b − a

xk = a + k ,k =0, 1, 2, . . . , n.

n Supongamos que f es continua en [a, b] y f ≥ 0. La suma superior de Riemann Sn(f) se define por

n 

b − ab − ab − a

Sn(f) = supf(x): a +(k − 1) ≤ x ≤ a + k.

n nn

k=1

De manera análoga se define a la suma inferior de Riemann como

n 

b − ab − ab − a

sn(f) = ´ınff(x): a +(k − 1) ≤ x ≤ a + k.

n nn

k=1

Si denotamos por Area (f) al área limitada por f y el eje x en [a, b], entonces tiene lugar la siguiente relación

sn(f) ≤ Area (f) ≤ Sn(f).

Además, si m ≥ n se tiene

sn(f) ≤ sm(f) y Sm(f) ≤ Sn(f).

El límite de las sumas de Riemann existe y además

l´ım sn(f) = Area (f) = l´ım Sn(f).

n→∞ n→∞

Dicho límite es igual al área comprendida entre la gráfica de la función y el intervalo [a, b], y se le conoce como la integral definida de f en [a, b]

 b f(x)dx = Area (f) = l´ım sn(f) = l´ım Sn(f).

n→∞ n→∞ a

1. Encuentre las sumas superior e inferior de Riemann para las siguientes funciones en los intervalos dados. Además calcule el límite de las sumas de Riemann

a)f(x) = sin x, 0 ≤ x ≤ π/2, b)f(x)= −x 2 +4, |x|≤ 2,

3

c)f(x)= x, 0 ≤ x ≤ 3, d)f(x) = cos2 x, |x|≤ π/2.

1.2. Propiedades de la integral definida

Si f ≤ 0 se define

bb

f(x)dx = − (−f)(x)dx.

aa

Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo [a, b]. Entonces tienen lugar las siguientes propiedades.

a)

b bb

(f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x)dx.

a aa

b) Para cualquier constante c

bb

(cf)(x)dx = cf(x)dx.

aa

c) Para cualquier ξ, a ≤ ξ ≤ b,

bξb

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

a aξ

d) Si se tiene la desigualdad f(x) ≤ g(x), para todo a ≤ x ≤ b, entonces

bb

f(x)dx ≤ g(x)dx.

aa

1.3. El teorema fundamental de cálculo

Definición 1. Sea f una función definida en un intervalo [a, b]. Se dice que F es una primitiva de f en (a, b) si para todo x en (a, b) tiene lugar la igualdad d

F (x)= f(x).

dx

Teorema 1. El Teorema Fundamental del Cálculo. Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Entonces f admite una función primitiva F en [a, b], es decir

F '(x)= f(x).

Más aún, tiene lugar la igualdad

b

f(x)dx = F (b) − F (a).

a

1. Verifique que las siguientes funciones F, son funciones primitivas de las respectivas funciones f en los intervalos indicados.

a)

1

F (x) = tan x, f(x)= ,x ∈ [−π/4, π/4].

cos2 x

b)

1

F (x)= − cot x, f(x)= ,x ∈ [π/4, 2π/4].

sin2 x

c)

n+1

x

n

F (x)= ,f(x)= x, x ∈ [a, b],n= −1.

n +1

d)

F (x)= 1sin2 x, f(x) = cos x sin x, x ∈ [−π, π].

2

e)

F (x) = sec x, f(x) = sec x tan x, x ∈ [0, π/4].

2. Buscando funciones primitivas adecuadas y usando las propiedades de la integral definida calcule las siguientes integrales

b 1/2 xn − 1

n

a) (x + x −n)dx, |n| =1, b) dx, n = −1,

x − 1

00 x π/2 p/q dt, 4

c) tp,q enteros, d) cos x sin x dx,

00 π/2 π

e) sinn x cos x dx, f) sin2 x dx,

00

√

π/4 π/2

g) (1 + sin θ) sec2 θ dθ, h) x cos x 2 dx.

−π/40

3. Calcule las siguientes integrales

π/2

cos x, si − π/2 ≤ x ≤ 0,

a) f(x)dx, f(x)=

sin x, si 0 ≤ x ≤ π/2,

−π/2

2

2. La integral Indefinida

Sea f una función continua en un intevalo (a, b). Sabemos que f admite una función primitiva F. La integral indefinida de f se puede definir como f(x)dx = F (x)+ C, donde C representa a una constante arbitraria.

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