TEMA 4.- DERIVABILIDAD.

TEMA 4.- DERIVABILIDAD.

1.- Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica

2.- Derivadas laterales.

3.- Función derivada. Derivadas sucesivas.

4.- Reglas de derivación. Regla de la cadena.

1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.

Definición: Se llama derivada de una función f(x) en un punto x=a, y se representa , al siguiente límite (si existe):

Ejemplo: Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo: f (x) = 2x2 + 5x

Solución:

Interpretación geométrica:

El conjunto de funciones reales de variable real es tan amplio que es prácticamente imposible encontrar propiedades generales para todas. Si nos restringimos a las funciones continuas ya pueden establecerse algunas propiedades importantes como los teoremas de Bolzano y de Weierstrass. Pero en las funciones continuas todavía se plantean muchos problemas como puede ser la determinación de la recta tangente en un punto de la gráfica. Con la definición intuitiva de que la tangente es la recta que toca a la curva sólo en ese punto la recta de la primera figura no sería tangente, mientras que en las otras figuras habría varias tangentes (alguna bastante extraña) en un mismo punto.

Lo cierto es que esa definición intuitiva sólo es válida para la circunferencia y curvas similares: cerradas y convexas (“sin baches”). Para el caso general hace falta una nueva definición que sea válida siempre y que corresponda a la idea intuitiva en los casos en que ésta pueda aplicarse. Y esa definición es la siguiente:

“La recta tangente a una curva en un punto P(a, f(a)) es la posición límite hacia la que tienden las rectas secantes que pasan por ese punto P y por otro punto Q de la curva, cuando el segundo punto Q se acerca a P”.

Para poder hallar la ecuación de esa recta tangente en el punto de coordenadas A(a, f(a)), si la escribimos en forma punto-pendiente:

y – f(a) = m(x – a)

necesitamos saber el valor de la pendiente m.

Para ello, si tenemos en cuenta que la recta tangente es la posición límite de las secantes, entonces su pendiente será el límite de las pendientes de las secantes, con lo que:

Punto Fijo Punto Variable Recta Ángulo Pendiente

A……………….P1.........................sec nº 1….........α1….........

A……………….P2.........................sec nº 2….........α2….........

………………......................................................................................................

………………. …................................................................................................

Cuando esa situación la llevemos al límite, es decir, cuando acerquemos P hacia A, tendremos:

A…………….A……………......tangente...........α…....

Por tanto, la derivada de una función f(x) en un punto “a” puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f(a)).

Interpretación física:

El cálculo de derivadas o cálculo diferencial surge en el siglo XVII al tratar de resolver una serie de problemas que aparecían en las Matemáticas y en la Física, como son (entre otros):

- la definición de velocidad

- la determinación de la recta tangente a una curva en un punto dado.

- el cálculo de los valores máximos y mínimos que alcanza una función.

En estos y otros problemas similares de lo que se trata, en el fondo, es de estudiar, de medir y cuantificar, la variación de un determinado fenómeno, la rapidez con que se produce un cambio.

La tasa de variación media (TVM), o cociente incremental, nos da una primera idea de la rapidez con que varía un fenómeno en un intervalo determinado. Se define como el cociente:

es decir, nos dice cuanto variaría la función por cada unidad de variación de la variable independiente dentro del intervalo considerado suponiendo que esa variación fuese uniforme en todo el intervalo.

La tasa de variación media coincide, evidentemente, con el valor de la pendiente de la recta que une los puntos de coordenadas (x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)).

El valor obtenido al calcular la T.V.M. de una función en un intervalo determinado no quiere decir que en todo el intervalo se haya mantenido ese porcentaje de variación; de hecho, no suele ser así. Además, lo que interesa normalmente es saber lo que ocurre en un punto determinado: la velocidad en un instante dado, la trayectoria que seguirá un disco al ser lanzado, el punto en que un proyectil alcanza su máxima altura, etc.

Por tanto, el problema es estudiar la variación instantánea (T.V.I.) de la función en un punto determinado x0. Para ello lo que haremos será estudiar su variación en intervalos [x0, x] (o [x, x0]) cada vez mas pequeños haciendo que x se aproxime a x0. En el momento en que x coincida con x0 la T.V.M. se convertirá en la tasa de variación instantánea que es lo que realmente nos interesa.

Pero el problema es que en el cociente que define la T.V.M. al llegar a coincidir x con x0 el denominador valdría 0. Por ello se define la tasa de variación instantánea como:

Y este límite es lo que hemos llamado derivada de la función f en el punto x0.

Por tanto la derivada puede interpretarse también como la tasa de variación instantánea, es decir, como la razón de cambio instantánea de una función.

Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Ecuación de la recta normal.

Como vimos en la interpretación geométrica de la derivada, ésta es la pendiente de la recta tangente a la función (realmente a la gráfica de la función) en el punto de coordenadas , por lo que la ecuación de la recta tangente será:

NOTA: Para calcular la ecuación de la recta tangente utilizamos la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente:

La normal a una curva en un punto es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto.

Si la pendiente de la tangente es la pendiente de la normal será (ya que el producto de ambas debía ser -1) y la ecuación de la recta normal nos viene dada por:

Si f ´(a) = 0, la recta tangente será horizontal y de ecuación y = f(a). En ese caso la recta normal es vertical y de ecuación x = a.

Ejemplos.

1. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por en el punto de abscisa x = 2.

Calculamos la derivada de la función dada en el punto que nos indican. Aplicando la propia definición tendremos:

En consecuencia,

Una vez que hemos obtenido las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva, podemos escribir sus ecuaciones, utilizando la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente:

Si tenemos en cuenta que el punto de tangencia tiene por coordenadas , las ecuaciones de las rectas pedidas son:

Ecuación de la recta tangente:

Ecuación de la recta normal:

2. Dada la parábola de ecuación hallar el punto donde la tangente es paralela al eje de abscisas.

Calculamos la derivada de la función dada en un punto cualquiera x:

Como la tangente es paralela al eje de abscisas, las dos rectas tendrán igual pendiente: si tenemos en cuenta que la pendiente del eje de abscisas es igual a cero, al igualar la derivada a cero nos queda:

Obtenida la abscisa del punto de tangencia, la ordenada correspondiente del punto la obtenemos sustituyendo en la función:

En consecuencia, el punto de tangencia tiene por coordenadas (4, 4).

2.- DERIVADAS LATERALES.

Como una derivada es un límite, para que exista, han de existir y coincidir los límites laterales que, en este caso, se llaman derivadas laterales de la función en el punto:

Derivada por la izquierda.

Se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto x = a al siguiente límite, si es que existe:

= o =

Derivada por la derecha:

Se llama derivada por la derecha de la función f en el punto x = a al siguiente límite, si es que existe:

= o =

Evidentemente, una función es derivable en un punto sí, y sólo sí, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales son iguales.

Si las derivadas laterales existen pero no coinciden, se debe a que la función tiene un punto anguloso.

Ejemplo:

Este es el caso de la función que en

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