TRABAJO COLABORATIVO

1.- Se sabe que el 75% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 6 ratones, encuentre la probabilidad de que:

a.- ninguno contraiga la enfermedad

b.- menos de 2 contraigan la enfermedad

c.- más de 3 contraigan la enfermedad

a) Ninguno contraiga la enfermedad;

n= 6 6C0 (0.25)0 (0.75)6 = 0.1779

p= 0.25

q= 0.75

X= 0

b) Menos de 2 contraiga la enfermedad;

n= 6 6C1 (0.25)1 (0.75)6-1 = 0.3559

p= 0.25 6C0 (0.25)0 (0.75)6 = 0.1779

q= 0.75 P = 0.3559 + 0.1779 = 0.5338

X= 0 y 1

c) Más de 3 contraigan la enfermedad

n= 6 6C4 (0.25)4 (0.75)2 = 0.03295

p= 0.25 6C5 (0.25)5 (0.75)1= 0.00439

q= 0.75 6C6 (0.25)6 (0.75)0= 0.0002441

X= 4 , 5 , 6 P = 0.03295+0.00439+0.0002441=0.03758

2.- Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio reveló que 70% cree que “los antidepresivos en realidad no curan nada, sólo disfrazan el problema real”. De acuerdo con este estudio, de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar:

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 tengan esta opinión?

b.- ¿Cuál es la probabilidad de que máximo 3 tengan esta opinión?

c.- De cuantas personas se esperaría que tuvieran esta opinión.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 tengan esta opinión?

Solución: Aplicamos la distribución binomial.

x= 3, 4, 5

n=5

P=0.7

q=0.3

Utilizamos la formula:

f (x;p,n)=(■(n@x)) 〖.p〗^x 〖.q〗^(n-x)

Reemplazamos:

P x≥3=(■(5@3)).(〖0.7〗^3 ) .(〖0.3〗^2 )+(■(5@4)).(〖0.7〗^4 ) .(〖0.3〗^1 )+(■(5@5)) .(〖0.7〗^5 ) .(0.3)

P x≥3=0.03087+0.36015+0.16807=0.83692

La probabilidad de que al menos 3 tengan esa opinión es de 83,6%

b. ¿Cuál es la probabilidad de que máximo 3 tengan esta opinión?

x= 0, 1, 2, 3

n=5

p=0.7

q=0.3

Utilizamos la formula:

f (x;p,n)=(■(n@x)) 〖.p〗^x 〖.q〗^(n-x)

Reemplazamos:

P x≤3=(■(5@0)).(〖0.7〗^0 ) .(〖0.3〗^5 )+(■(5@1)) .(〖0.7〗^1 ) .(〖0.3〗^4 )+(■(5@2)) .(〖0.7〗^2 ) .(〖0.3〗^3 )+ (■(5@3)) .(〖0.7〗^3 ) . (〖0.3〗^2 )

P x≤3=0.00243+0.02835+0.1323+0.3087=0.47178

La probabilidad de que máximo 3 tengan esa opinión es de 47,1%.

c. De cuantas personas se esperaría que tuvieran esta opinión.

ʯx = E(X) = np

ʯx = np = 5 x 0,7 = 3,5

Se espera que 3.5 personas tengan esa opinión

3.- a.- ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehusé a servir bebidas alcohólicas a dos menores si ella verifica al azar las identificaciones de 5 estudiantes de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad legal para beber?. b.- ¿Cuál es la probabilidad de que al revisar las identificaciones de los 5 estudiantes del grupo de 9, no encuentre ninguna que sea de alguno que no tenga la edad legal para beber?

Solución. Se utiliza una distribución hipergeométrica

Número de éxitos de la población = 4 (k)

Total de la población = 9 (N)

Muestra = 5 (n)

x = 2

Utilizamos la formula:

f (x;N,k,n)=( (■(k@x))(■(N - &k@n -&x)))/((■(N@n)) ) (■(n@m))=( n!)/m!(n-m)!

Reemplazamos:

(■(4@2))(■(9 - &4@5 -&2))/((■(9@5)) )= ((4!/(2! . 2!)).(5!/(3! . 2!)))/((9!/(5! . 4!)) )= (6 .10)/126= 0.4761

La probabilidad de que la mesera se rehusé a servir bebidas alcohólicas a dos menores es de 47%.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al revisar las identificaciones de los 5 estudiantes del grupo de 9, no encuentre ninguna que sea de alguno que no tenga la edad legal para beber?

Número de éxitos de la población = 4 (k)

Total de la población = 9 (N)

Muestra = 5 (n)

x = 0

Utilizamos la formula:

f (x;N,k,n)=( (■(k@x))(■(N - &k@n -&x)))/((■(N@n)) ) (■(n@m))=( n!)/m!(n-m)!

Reemplazamos:

f (0;9,4,5)=(■(4@0))(■(9 - &4@5 -&0))/( (■(9@5)) ) + ((4!/(0! . 4!)) .(5!/(5! . 0!)))/((9!/(5! . 4!)) )= (1 .1)/126= 0.007936

La probabilidad de que al revisar las identificaciones de los 5 estudiantes del grupo de 9, no se encuentre ninguna que sea de alguno que no tenga la edad legal para beber es de 0,79%.

4.- Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que

a.- la sexta persona en escuchar este rumor sea la cuarta en creerlo?

b.- la tercera persona en escuchar este rumor sea la segunda en creerlo?

Solución: Aplicamos la distribución binomial negativa

Probabilidad de que se crea el rumor = 0.8

Probabilidad de que no se crea = 0.2

x= 6

(x,0.8 ,4) = (k-4, p -0.8)

P (x=6)= (█(5@3)) (0.8)^(4 ) (0.2)^(2 )=0.1638

Respuesta: La probabilidad de que la sexta persona en escuchar el rumor, sea la cuarta en creerlo, es de 0.1638

b. La tercera persona en escuchar este rumor sea la segunda en creerlo

Probabilidad de que se crea el rumor = 0.8 (p)

Probabilidad de que no se crea = 0.2 (q)

x= 3

(x, 0.8 ,2) = (k-2, p -0.8)

P (x=3)=(█(2@1)) (0.8)^(2 ) (0.2)^(2 )=0,256

Respuesta: La probabilidad de que la sexta persona en escuchar el rumor, sea la cuarta en creerlo, es de 25,6%.

5.- En el metro de la ciudad de Medellín, los trenes deben detenerse solo unos cuantos segundos en cada estación, pero por razones no explicadas, a menudo se detienen por intervalos de varios minutos. La probabilidad de que el metro se detenga en una estación más de tres minutos es de 0,20.

a.- Halle la probabilidad de que se detenga mas de tres minutos por primera vez, en la cuarta estación desde que un usuario lo abordo?

b.- Halle la probabilidad de que se detenga mas de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estación desde que un usuario lo abordo?

a. Halle la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera vez, en la cuarta estación desde que un usuario lo abordó.

Probabilidad de que se detenga =0,20

Probabilidad de que no se detenga =0.80

La probabilidad de que se detenga en la cuarta estación

0.80 x 0.80 x 0.80 x 0.20 = 0,1024

Respuesta: 10,24%

b. Halle la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estación desde que un usuario lo abordó.

Probabilidad de que se detenga =0,20

Probabilidad de que no se detenga =0.80

La probabilidad de que se detenga antes de la segunda estación

0.80 x 0.20 = 0.16

La probabilidad de que se detenga antes de la tercera estación

0.80 x 0.80 x 0.20 = 0.128

La probabilidad de que se detenga antes de la cuarta estación

0.20 + 0.16 + 0.128 = 0,488

Respuesta: la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estación es de 48,8%

6.- El propietario de una farmacia local sabe que en promedio, llegan a su farmacia 100 personas cada hora.

a.- encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos nadie entre a la farmacia

b.- Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos entren más de 5 personas a la farmacia.

a. Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos nadie entre a la farmacia

Solución: Utilizamos la distribución de Poisson

λ=100 personas/hora

1 hora = 100 personas

60 minutos = 100 personas = 1,666666666666667 personas por minuto

3 minutos = 1,666666666666667 x 3 = 5 personas

λ=5

Utilizamos la formula:

P(x = x) = e^ (-λ) * λ^x / x!

Reemplazamos:

P(x=0)=(〖e 〗^(-5 ) 〖 5〗^0)/0!=〖e 〗^(-5 )= 0.0067

La probabilidad de que no llegue ningún cliente en 3 minutos es de 0.67%

b. Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos entren más de 5 personas a la farmacia.

P(x>5) = 1-P(x<5)

Utilizamos la formula:

P(x = x) = e^ (-λ) * λ^x / x!

Reemplazamos:

P(x=0)=(〖e 〗^(-5 ) 〖 5〗^0)/0!= 0.0067

P(x=1)=(〖e 〗^(-5 ) 〖 5〗^1)/1!= 0.0337

P(x=2)=(〖e 〗^(-5 ) 〖 5〗^2)/2!= 0.0842

P(x=3)=(〖e 〗^(-5 ) 〖 5〗^3)/3!= 0.1404

P(x=4)=(〖e 〗^(-5 ) 〖 5〗^4)/4!= 0.1755

P(x=5)=(〖e 〗^(-5 ) 〖 5〗^5)/5!= 0.1755

P(x<5) = 0,616

1- 0,616 = 0,384

La probabilidad de que entren más de 5 clientes es de 38,4%

7.- Una compañía fabricante utiliza un esquema de aceptación de producción de artículos antes de que se embarquen. El plan tiene dos etapas. Se preparan cajas de 25 artículos para su embarque y se prueba una muestra de 3 en busca de defectuosos. Si se encuentra alguno defectuoso, toda la caja se regresa para verificar el 100%. Si no se encuentran defectuosos, la caja se embarca.

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 defectuosos?

b.- ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo 1 artículo defectuoso se regrese para su revisión?

Sea:

Y= número de artículos defectuosos encontrados en una caja

P(Y=0)=(3¦0)(22¦3)/((25¦3) )=0.6696

La probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 artículos defectuosos es de 66.96%

P(Y=1)= (1¦1)(24¦2)/((25¦3) )=0.12

La probabilidad de que una caja que contiene solo 1 articulo defectuoso se regrese para su revisión es de 12%

8.- Un científico inocula a varios ratones, uno a la vez, con el germen de una enfermedad hasta que encuentra a 2 que contraen la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es del 1,7%

a.- Cual es la probabilidad de que se requieran 8 ratones?

b.- Cual es la probabilidad de que se requieran entre 4 y 6 ratones?

P= 0.017 n=4-6 k=2

P(4<=X<=6)= ∑_4^6▒■(i-1 @2) 〖0.983〗^(i-2) 〖0.017〗^2

= ■(3@2) 〖0.983〗^2 〖0.017〗^2 + ■(4@2) 〖0.983〗^3 〖0.017〗^2+ ■(5@2) 〖0.983〗^4 〖0.017〗^2

= 0.00518

P(4<=X<=6)= 0.00518 Probabilidad de que encuentre el segundo ratón infectado entre 4 y 6.

9.- Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de inglés en cualquier intento que haga.

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que lo logre aprobar en el tercer intento?

b.- ¿Cuál es la probabilidad de que lo apruebe antes del tercer intento?

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que lo logre aprobar en el tercer intento?

P=0.75 K=3

Miramos en la tabla de distribución geométrica

P(X<=3)= 0.996

Tiene Una probabilidad del 99.6 % de aprobar en el tercer intento.

b.- ¿Cuál es la probabilidad de que lo apruebe antes del tercer intento?

P(X<=2)= 0.9843

10.- En promedio en cierto cruce ocurren dieciocho accidentes de tránsito al año. ¿Cuál es la probabilidad de que para cualquier mes dado en este cruce :

a.- ocurran exactamente 3 accidentes

b.- ocurran menos de 3 accidentes

c.- ocurran por lo menos 3 accidentes

un año (12 meses) 18 accidentes

1 mes x

X=1*18/12=1.5 promedio mes

Se utiliza poisson

p(x=3)=(e^(-1.5)*〖1.5〗^3)/3!=0.1255

p(x<3)=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)=0.2231+0.3346+0.251=0.8087

p(x≥3)=1-p(x<3)=1-0.8087=0.1912

11.- Un club de estudiantes extranjeros tiene entre sus miembros a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona al azar un comité de 4 personas, Determine la probabilidad de que todas las nacionalidades estén representadas?

N = 12 estudiantes

a = 2 Canadienses

b = 3 Japoneses

c = 5 Italianos

N-a-b-c = 2 Alemanes

n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité

x = 1 estudiante Canadiense en el comité seleccionado

y = 1 estudiante Japonés en el comité seleccionado

z = 1 estudiante Italiano en el comité seleccionado

n-x-y-z = 1 estudiante Alemán en el comité seleccionado

12.- Según los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. ¿cuál es la probabilidad de que de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado?

p = 0.05

n = 6

q = 1 –p = 1 – 0.05 = 0.95

p(x = r) = (n / r) * por * qn-r

P (X = 0) = ( 6 / 0) *0.050 X0.956-0

= 6! / 0! ( 6!-0!) *0.050 X0.956-0

= 1 * 1 * 0.735

= 0.735

P (X = 1) = ( 6 / 1) *0.051 X0.956-1

= 6! / 1! ( 6!-1!) *0.051 X0.956-1

= 6 *0.05 * 0.773

= 0.2319

P (X = 2) = ( 6 / 2) *0.052 X0.956-2

= 6! / 2! ( 6!-2!) *0.052 X0.956-2

= 15 * 0.0025 * 0.814

= 0.030

P (X = 3) = ( 6 / 3) *0.053 X0.956-3

= 6! / 3! ( 6!-3!) *0.053 X0.956-3

= 20 * 1.25X10-4 * 0.857

= 0.00214

La probabilidad es de 0.2833 x 100% = 28.33%

13- Un profesor dispone en su archivo de 15 preguntas sobre un tema específico de la materia, seis de ellas son de teoría. Si desea preparar un cuestionario de 5 preguntas. Cual es la probabilidad de que 2 de las preguntas sean de teoría?

N = 15

R = 6

n = 5

r = 2

P(r = 2) = 6C2 * (15-6)C(5-2) / 15C5 = 15*84 / 3003 =1260 / 3003

P(r = 2) = 60/143 = 0.4195804196

EJERCICIOS CAPITULO 6

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

1.- Los coeficientes intelectuales de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere de un coeficiente intelectual de al menos 95

a.- ¿Cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones?.

b.- Si se considera que un coeficiente intelectual mayor a 125 es muy superior ¿Cuántos de estos estudiantes tendrían un coeficiente intelectual muy superior al del grupo?

P(X < 95) = Φ[(95 – 115)/12]= Φ[-1.67] = 0.0478

Número de estudiantes rechazados = 600*0.0478 = 28.68 o 29

2.- Un empleado viaja todos los días de su casa en las afueras a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos con una desviación estándar de 3,8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje le tome al menos media hora?

b.- Si la oficina abre a las 9:00 am y el sale a diario de su casa a las 8:45 am ¿Qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo?

c.- Si sale de su casa a las 8:35 am y el café se sirve en la oficina de 8:50 a 9:00 am ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda el café? CASO

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