Tarea, Materia: Matemáticas

UNIVERSIDAD TECNICA DE ESMERALDAS “LUIS VARGAS TORRES”[pic 1]

Nombre: Estupiñan Mejía Leonardo Enrique

Materia: Matemáticas

DEFINIR. -

CÁLCULO INTEGRAL. - La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa a la derivada.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

ANTIDERIVADA

Una anti derivada de una función f(x) es una función cuya derivada es f(x).

Ejemplos:

• Pues la derivada de , una antiderivada de [pic 2][pic 3]
• Pues la derivada de  también, una otra anti derivada de [pic 4][pic 5]
• En forma parecida, una otra anti derivada de [pic 6]
• En forma parecida, una otra anti derivada de , donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)[pic 7]

REGLA DE LA POTENCIA PARA INTEGRACIÓN

La formula

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Que se aplica a una potencia de x, puede generalizarse para manejar una potencia de una función de x. Suponga que u es una función diferenciable de x. Por medio de la regla de la potencia para diferenciación, si , entonces[pic 9]

[pic 10]

Así,

[pic 11]

A ésta le llamamos la regla de la potencia para integración. Observe que  es la diferencial de u, es decir du. En forma matemática breve, podemos reemplazar  por u y  por du: [pic 12][pic 13][pic 14]

Regla de la potencia para integración

Si u es diferenciable, entonces

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Es esencial que usted se dé cuenta de la diferencia entre la regla de la potencia

Para integración y la fórmula para  En la regla de potencia, [pic 16]

U representa una función, mientras que en   es la variable.[pic 17]

Aplicación de la regla de la potencia para integración

A. Determinar.

Solución: como el integrando es una potencia de la función , haremos[pic 18]

 . Entonces , y la tiene la forma [pic 19][pic 20]

.Por medio de la regla de la potencia para integración,[pic 21]

[pic 22]

Observe que no damos nuestra respuesta en términos de u, sino en términos de x.

B. Determinar.

Solución: observamos que el integrando contiene una potencia de la función

. Hacemos .Entonces .Por fortuna,  aparece como un factor en el integrando y puede usarse como parte de du. Así tenemos[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Para aplicar la regla de la potencia para integración, algunas veces debemos hacer un ajuste para obtener du en el integrando, como lo ilustra el ejemplo 2.

 EJEMPLO: 2 Ajuste de du

Encontrar . [pic 29]

Solución: podemos escribir esto como .Observe que el integrando contiene una potencia de la función Si , entonces .Ya que el factor constante 2 en du no aparece en el integrando, esta integral no tiene la forma  . Sin embargo, podemos poner la integral dada en esta forma por medio de la multiplicación y división del integrando por 2.Esto no cambia su valor.Así,[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

[pic 34]

Moviendo el factor constante al frente del signo de integral, tenemos

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[pic 36]

Regresando en términos de x se obtiene

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En el ejemplo 2, necesitábamos el factor 2 en el integrando. En la ecuación (1) se insertó, y la integral se multiplicó al mismo tiempo por . En términos más generales, si k es una constante diferente de cero, entonces[pic 38]

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En efecto, podemos multiplicar el integrando por una constante diferente de cero, k, siempre y cuando compensemos esto multiplicando toda la integral por 1/k.Tal manipulación no puede ser hecha con factores variables.

Advertencia Cuando use la forma , no descuide a du. Por ejemplo,[pic 40]

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La forma apropiada de resolver este problema es como sigue. Haciendo

 , tenemos . Así,[pic 42][pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES CON LA EXPONENCIAL NATURAL

Ahora volvemos nuestra atención para integrar funciones exponenciales. Si u es una función diferenciable de x, entonces

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Para esta fórmula de diferenciación, la correspondiente fórmula de integración es

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Pero, es la diferencial de u, es decir, du. Así,

.[pic 48]

INTEGRALES QUE INCLUYEN FUNCIONES EXPONENCIALES

1. Encontrar [pic 49]

Solución: sea .Entonces , y por la ecuación (2),[pic 50][pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

1.  Encontrar  .[pic 54]

Solución: si , entonces . Si el integrando tuviese un factor de 3, la integral tendría la forma . Así, escribimos.[pic 55][pic 56][pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

Advertencia La fórmula de la regla de la potencia para  no se aplica a . Por ejemplo,[pic 61][pic 62]

[pic 63]

INTEGRALES QUE INCLUYEN FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Como usted sabe, la fórmula de la potencia  no se aplica cuando . Para manejar esa situación, es decir,, primero recordamos que[pic 64][pic 65][pic 66]

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