Funciones de Varias Variables
Enviado por ABRAHAM EDUARDO MACIAS RODRIGUEZ • 4 de Diciembre de 2022 • Tareas • 1.097 Palabras (5 Páginas) • 30 Visitas
ECO 3: Funciones de Varias Variables
FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES
En tus cursos de cálculo diferencial e integral trabajaste con funciones de una variable, esto es, funciones de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥). Ahora en este curso trabajaremos con funciones que dependen de dos o más variables:
𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝒘 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)
Un ejemplo que puede representarse por medio de una función de varias variables es el caso de la temperatura en una habitación ya que ésta dependerá del tiempo que tenga funcionan do la refrigeración o calefacción, ya que al encenderla conforme pasa el tiempo la temperatura va cambiando hasta estabilizarse, pero no solo depende del tiempo ya que también depende de la posición, alguna vez has experimentado que la temperatura en una habitación es diferente en los puntos bajos que en los altos y lógicamente será más alta o más baja cerca de las rejillas por donde es la salida.
𝑻 = 𝑻(𝒕, 𝒙, 𝒚, 𝒛)
Para graficar una función de varias variables puede ser útil analizar las gráficas que se generan en cada uno de los planos (plano xy, plano yz, plano xz), una vez analizados se procederá a intentar dibujarlos sobre el espacio ℝ3. Es importante resaltar que la tabulación no nos ayudará de mucho ya que será difícil saber como unir los puntos, además de que se necesitarían infinidad de puntos para poder trazar la superficie. En la siguiente figura podemos observar la dificultad que presenta intentar por medio de tabulación:
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐
𝑓(−2, −2) = 2(−2)2 + 3(−2)2 = 8 + 12 = 20 𝑓(−1, −2) = 2(−1)2 + 3(−2)2 = 2 + 12 = 14 𝑓(0, −2) = 2(0)2 + 3(−2)2 = 0 + 12 = 12 . | → → → | (−2, −2, 20) (−1, −2, 14) (0, −2, 12) |
. . | ||
𝑓(2, 2) = 2(2)2 + 3(2)2 = 8 + 12 = 20 | → | (2, 2, 20) |
x y | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
-2 | 20 | 14 | 12 | 14 | 20 |
-1 | 11 | 5 | 3 | 5 | 11 |
0 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
1 | 11 | 5 | 3 | 5 | 11 |
2 | 20 | 14 | 12 | 14 | 20 |
[pic 1]
[pic 2]
De la gráfica anterior vemos que no es sencillo determinar la forma de unir los puntos y más aún lograr una visualización cercana a la superficie que se debe graficar.
Enseguida se muestran unos ejemplos de graficación de funciones de varias variables analizando cada uno de los planos y posteriormente uniéndolos.
EJEMPLO 1: 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐
Plano xy | Plano xz | Plano yz |
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒛 𝒛 = 𝟎 𝑧 = 2𝑥2 + 3𝑦2 𝟎 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 Los únicos valores reales que Cumplen la igualdad son: 𝑥 = 0 𝑦 𝑦 = 0 (0, 0, 0) Por lo tanto, en el plano xy solo se dibuja un punto: [pic 3] | 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒛 𝒚 = 𝟎 𝑧 = 2𝑥2 + 3𝑦2 𝒛 = 𝟐𝒙𝟐 Por lo tanto, en el plano xz se dibuja una parábola: [pic 4] | 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒛 𝒙 = 𝟎 𝑧 = 2𝑥2 + 3𝑦2 𝒛 = 𝟑𝒚𝟐 Por lo tanto, en el plano yz se dibuja una parábola: : [pic 5] |
Juntando las gráficas anteriores en una sola gráfica tenemos:
[pic 6]
...