Variables Continuas

Variable aleatoria continúa

Una variable aleatoria continua es una función X que asigna a cada resultado posible de un experimento un número real. Si X puede asumir cualquier valor en algún intervalo I (el intervalo puede ser acotado o desacotado), se llama una variable aleatoria continua. Si puede asumir solo varios valores distintos, se llama una variable aleatoria discreta.

Ejemplos

Tire un dado al aire y tome para X el número orientado hacia arriba. Entonces X es una variable aleatoria discreta con valores posibles 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Encuentre una estrella en el cosmos y tome para X su distancia del sistema solar en años luz. Entonces X es una variable aleatoria continua cuyos valores son números reales en el intervalo (0+).

Abra la sección negocios de su periódico, y tome para X el último precio cotizado de las acciones de Conglomerado Colosal. Entonces X puede asumir cualquier valor real, pues podemos pensar en X como una variable aleatoria continua.

Lance una moneda e iguale X a 1 si sale cara, y 0 si sale cruz. Entonces, X es con valores

Tome para X la temperatura de una persona enferma, tomada con un termómetro de mercurio con una escala de 70° hasta 120°. Entonces X es con valores

Si X es una variable aleatoria, estamos frecuentemente interesado en la probabilidad de que X asume un valor en cualquier rango. Por ejemplo, si X el último precio cotizado de las acciones de Conglomerado Colosal, y observamos que el precio está entre $10 y $20 60% del tiempo, diríamos

P (10X20)=6

Podemos utilizar un gráfico de barras, llamado un histograma de la distribución de probabilidad, para ilustrar las probabilidades de que X se queda en rangos seleccionados.

La siguiente tabla muestra la distribución de los residentes estadounidenses (16 años de edad o mayor) quienes asisten a cualquier colegio durante 1980, ordenada por edad.

Solución Antes de empezar, un poco de terminología: Las entradas de la última fila son denominadas como las frecuencias y la tabla como una distribución de frecuencias. Al sumar las frecuencias, observamos que el número total de universitarios durante 1980 fue 12.4 millón.

Las probabilidades en la tabla más arriba han sido redondeadas, con la consecuencia que suman a 1.01 en vez de los 1 esperado. In la categoría 15-19, hemos incluido todos de la edad al menos 15 años y menor que 20 años. Por ejemplo, alguien de la edad de 19½ sería incluyendo en este rango. Desearíamos en cambio escribir 15-20, pero esto sería ambiguo, pues no sabríamos donde contar alguien de la edad de precisamente 20 años. Sin embargo, la probabilidad de que un universitario este precisamente de la edad de 20 (y no, por ejemplo, 20 años y 1 segundo) es esencialmente cero, entonces no importa esta ambigüedad (vea el análisis después de Ejemplo 2 más abajo). Por lo tanto, reescribimos la tabla con estos rangos

El histograma de la distribución de probabilidad es la gráfica de barras que obtenemos al trazar estos datos:

Pruebe el fabricador en-línea de histogramas para trazar histogramas de la distribución de probabilidad.

Antes de seguir... Si hubiera sido más fina la agrupación entre rangos—por ejemplo, con divisiones de 1 año en vez de 5 (y si tuviéramos también los datos anual) —entonces pareciera más pulido el histograma, con barras más bajas como muestra debajo. ¿Por qué?

Esta distribución más pulida sugiera una curva. Este tipo de curva consideraremos en la siguiente sección.

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Observe que, pues tiene cada rectángulo una anchura de 1 unidad y una altura igual a la probabilidad asociada, su área es igual a la probabilidad de que X está en el rango asociado. Por lo tanto, P (0X4) también es igual al área de la región sombreada.

(b) De modo parecido, P(X4) se expresa por la área de la región sin sombra en la figura más arriba, así que

P(X4)=10+05+02=17

(Note que P (0X4)+P(X4) = 1. ¿Porqué?)

(c) Para calcular P (2X35), tenemos que hacer una conjetura con cierta base, pues no la tabla ni el histograma tiene subdivisiones de anchura 0.5. En referencia al histograma, podemos aproximar la probabilidad por el área mostrada más abajo:

Por lo tanto,

P (2X35)20+21(15)=275

(d) Para calcular P(X=4), tendríamos que calcular P (4X4). Sin embargo, eso correspondería a una región del histograma con cero área (vea la figura más abajo) entonces concluimos que P(X=4)=0.

Pregunta

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